GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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I. (Fig. 243). Si un cuadrilátero convexo ABNM, rectángulo en M y 
N, y que tiene el lado AB paralelo al MN, gira alre¬ 
dedor de MN, describe un cilindro de revolución. Su 
altura es MN, sus lados las diversas posiciones que, 
en aquel giro, adquiere el segmento rectilíneo AB, y 
sus bases los círculos [ AM ] y [ BN ]. Si el parale¬ 
lismo de AB y MN se verifica en el sentido AB, la 
mayor de las dos bases será [ AM ] . 
El volumen de un cilindro de revolución puede 
expresarse por cualquiera de estas dos fórmulas: 
v = 2 n (¿ — a), 
2 7i (lg ch R — lg ch r ), 
en las cuales 1 designa el lado AB, a la altura MN, R el radio AM de la base 
mayor, y r el radio de la base menor. 
Demostración. — Sean AC y BD los arcos de horiciclo, que empiezan res¬ 
pectivamente en A y B, terminan en la recta MN, y tienen un mismo centro, 
situado en el radio rectilíneo MN. Entre el cilindro [ABNM] el prisma horisférico 
[ ABDC ] y los segmentos horisféricos [AMC ], [ BND ], se verifica la relación 
[ABNM ] = [ABDC ] - [AMC ] + [ BND]; 
y sustituyendo en ella los términos del segundo miembro por los valores que 
(255 y 257 -1) expresan las igualdades 
[ABDC] = [AC] — [BD], 
[ A MC ] = [ AC ] - 2 7t CM, [ BND ] = [ BD ] — 2 it DN, 
resulta 
[ABNM] — 2t\. (CM —DN); 
pero CM — DN = (CM + MD) — (MI)-(-DN) = CD — MN = AB — MN = l — a; 
luego [ABNM ] — 2 tc (/ — a), que es la primera fórmula del enunciado. La segunda 
se obtiene del modo siguiente. Sabemos (221 -Obs.) que, si AM = 7? y DN = r, es 
e CM = ch R , é’ 13 ^ — ch r ; 
luego 
CM=lgch7?, DN = lgch?\ 
Sustituyendo estos valores de CM y DN en la igualdad [ ABNM ] = 
2 ti (CM — DN), encontrada antes, resulta v = 2 n (lg ch 7? — lg ch r ). 
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