GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
192 
voluclón de un sector hiperciclar ABNM alrededor de su altura BN, tiene por 
medida 
2 7s sh 2 — t (sh 2 a -f- 2a), 
siendo a la altura del hiperciclo AB y t la distancia MN entre las dos alturas 
extremas AM y BN. 
Demostración. —Sean C la proyección normal de A sobre BM, D el punto 
medio de la cuerda AB, y E la proyección normal de D sobre MN. Expresando 
que el sector hiperesférico [ABNM] es la suma del segmento hipereslérico [ABC] 
con el tronco cónico [ACNM], tendremos 
[ABNM] = (4 7t sh' 2 BD th a -2n BC)-h2n(a ch f-CN); 
y por ser BC CN = BN — a y ch t — 1 = 2 sh- 4- 1, se deducirá sucesivamente 
[ABNM] = 2 n (2 sh 2 BD th a + a (ch t — 1)) , 
[ABNM] = 2 r: (2 sh 2 BD th a -(- 2 a sh 1 \ t) . 
Además (227-1) el cuadrilátero ¡trirrectángulo 
DBNE proporciona la relación 
sh BD = sh NE ch BN, ó sh BD = sh-^ t ch a; 
y sustituyendo este valor de sh BD en la última expresión dei volumen, se halla, 
tras fáciles transformaciones, 
[ABNM] = 2 « sh 2 4- í (sh 2 a + 2 a). 
II. (Fig. 246). El volumen del sector esférico , descrito por la revolución 
del sector circular ABO alrededor de su radio OB, 
tiene por medida 
2 7t sen 2 0 (sh 2 r — 2 r), 
en cuya expresión r es el radio, y 0 el ángulo cén¬ 
trico BOA del arco BA. 
Demostración. —Se podría seguir una marcha 
análoga á la del teorema anterior; pero es más breve 
este otro procedimiento. El sector esférico OAB y 
206 
