GEOMETRIA 
ELIPTICA, 
ESFÉRICA Ó DE RlEMANN. 
CAPÍTULO I. 
Geometría pura. 
I.—Conceptos fundamentales. 
261. Diremos que dos puntos de una línea cerrada son opuestos, cuando 
dividen á esta línea en dos partes de igual longitud. 
En la Geometría elíptica, de igual modo que en la vulgar, se da el nombre 
de plano á la superficie cónica, cuya directriz es una recta que no pasa por el 
vértice; pero el concepto de recta, sin alterarlo en lo esencial, sufre una notable 
modificación que, á su vez, modifica los llamados Axiomas de la recta y del pla¬ 
no, según expresan los siguientes principios, que [además del Axioma de la tras¬ 
lación (2)], admitiremos como fundamentales. 
I. La linea veda es cerrada; y tiene, por consi guíente, longitud finita. 
II. Por dos puntos dados , siempre puede pasar una recta; pero no puede 
pasar otra , si dichos puntos no son opuestos en aquella recta . 
III. Si una recta tiene dos puntos no opuestos en un plano, estará total¬ 
mente situada en dicha superficie. 
Del segundo de estos principios, se infiere que dos rectas que tengan dos pun¬ 
tos comunes, no opuestos , coinciden en toda su extensión ; y que, por consiguien¬ 
te, la recta es una linea uniforme , es decir, que puede coincidir por resbala¬ 
miento consigo misma. También se deduce, del mismo principio, que todo segmen¬ 
to rectilíneo puede coincidir consigo mismo por inversión. Resulta, pues, que 
la recta riemana (la que ahora consideramos) conserva los caracteres esenciales 
de la recta euclídea, diferenciándose de ésta solamente en que la primera es ce¬ 
rrada, mientras que la segunda es abierta; y en que dos puntos determinan en 
general la recta riemana, y sin excepción la euclídea. 
Por extraña que al pronto parezca la hipótesis de ser la recta una línea ce¬ 
rrada, obsérvese que no hay ningún motivo para rechazarla, pues si bien hasta 
hoy la experiencia no la ha confirmado, tampoco la ha desmentido; y lo único 
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