CONCEPTOS FUNDAMENTALES 
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una de las dos rectas AB y BC está contenida en los dos planos a y 6, porque 
tiene con ellos dos puntos comunes no opuestos (261 • III). Esto advertido, si D 
es un punto cualquiera de la superficie plana a, no perteneciente á las rectas AB 
y BC, escójase sobre la recta BC un punto E que se halle respecto de la recta 
AB á distinto lado que D en el plano a. Como suponemos que D no está sobre 
la recta CEB, los dos puntos D y E no son opuestos, (265), y determinan, por lo 
tanto, una recta, que está dividida por dichos puntos en dos segmentos; uno cual¬ 
quiera de éstos se halla en el plano a (261 -III.), corta en un punto á la recta AB 
(268-1.), porque tiene sus extremos D y E á uno y otro lado de ella; y el punto 
F de intersección no es opuesto al E, porque E, F y B no están en línea recta 
(265- Cor. 7.°). La superficie plana 6 contiene á los puntos no opuestos E y F: 
al primero, porque está sobre la recta BC, y al segundo por estarlo sobre la 
AB; luego contiene también á la recta EF (261 - III); y, por consiguiente, al 
punto D. Así, queda establecido que todo punto del plano a pertenece también 
la 6; y como de igual modo se probaría que todo punto del plano 6 pertenece 
también al a, se debe sacar en consecuencia que ambos a y 6 son uno mismo, 
que es lo que se afirmaba. 
270. I. Tres puntos que no están en linea recta, determinan la posición 
de un plano. En otros términos: por tres puntos , no situados en línea recta, 
siempre pasa un plano , y no pasa más que uno. 
Demostración. —Sean A, B y C los tres puntos, no situados en línea recta. 
La superficie cónica que tiene por vértice el punto A, y por directriz la recta 
BC, es (por definición) un plano: y contiene, evidentemente, á los tres puntos 
A, B y C. Luego existe un plano que pasa por estos tres puntos. Y no existe 
más que uno, porque otro cualquiera que reúna las mismas condiciones, coinci¬ 
dirá con el primero, por tener con él tres puntos comunes no situados en línea 
recta.(270). 
II. Dos rectas ABjy BC que se cortan, determinan un plano. También lo 
determinan una recta AB y iin punto C exterior á ella. 
Porque el único plano, que contiene dichos elementos, es el determinado 
por los tres puntos A, B y C. (II). 
271. I. Todo plano queda dividido por una recta, situada en él, en dos re¬ 
giones, á las cuales llamaremos semiplanos. La recta que limita un semiplano, 
será la arista del mismo. Un plano, á su vez, divide al espacio total en dos par¬ 
tes, que recibirán el nombre de semiespacios, y no son otra cosa que cuerpos 
totalmente limitados por un plano. 
II. Dos semiplanos cualesquiera son iguales. 
Porque se logrará su coincidencia, colocándolos de manera que coincidan sus 
aristas, y haciendo girar uno de ellos alrededor de la arista común, hasta que 
tropiece con un punto del otro, exterior á dicha arista. (270-11). 
III. Dos planos cualesquiera son iguales. 
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MüMORIAS.—TOMO VII 
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