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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
Porque se confunden, cuando se les coloca de manera que un semiplano del 
uno coincida con un semiplano del otro. 
IV. Dos semiespacios cualesquiera son iguales. 
Porque coinciden, cuando se les coloca de modo que se adapten sus planos 
limitadores, y queden á un mismo lado de este plano común. 
272. Si dos planos diferentes tienen un punto común., se cortan según una 
recta que pasa por dicho punto; y no tiene fuera de esta recta ningún otro 
punto común. 
Demostración. —Es, con ligerísimas modificaciones, la misma que puede 
darse de este principio en la Geometría vulgar. 
(Fig. 251). Sea A un punto común á los dos planos a y 6. Trácense por A, 
en el plano 6, dos rectas AB 
y CA. Si alguna de estas rec¬ 
tas pertenece al plano a, ella 
será la intersección de a y 6; 
pero si ninguna de las dos per¬ 
tenece al plano a ; márquese ar¬ 
bitrariamente un punto B sobre 
la recta BA, y otro C sobre la 
CA; pero elegidos de tal suerte 
que los dos puntos B y C que¬ 
den á distinto lado del plano a. 
Los tres puntos B, C y A no 
están en línea recta, y de esto 
se infiere (265- Cor. 7.°) que 
B y C no son opuestos, y determinan una recta BC situada en el plano 6 (261 -II 
y III.). Uno cualquiera de los dos segmentos rectilíneos BC, por tener sus ex¬ 
tremos B y C á distinto lado del plano a, cortará á a en un punto D (268-11) 
común á los dos planos, y que no puede ser el mismo punto A, ni su opuesto, 
porque, si lo fuera, deberían estar en línea recta los cuatro puntos B, A, C, D, 
siendo así que los tres primeros no lo están. Luego la recta AD estará conte¬ 
nida en los dos planos, porque tiene en cada uno de ellos dos puntos no opuestos 
A y D. Así, podemos afirmar que ambos planos « y 6 se cortan según una 
recta AD que pasa por A. Además, a y 6 no tienen fuera de esta recta nin¬ 
gún punto común; porque, si lo tuvieran, coincidirían; y suponemos que son 
diferentes. 
273. Dos rectas cualesquiera de un plano se cortan en dos puntos opuestos. 
Demostración. —Si las dos rectas a y b, situadas en un mismo plano, no se 
cortaran, uno de los dos semiplanos limitados por la recta a quedaría totalmente 
dentro de uno de los dos semiplanos limitados por la recta &; y resultaría que el 
primero era parte del segundo, lo cual es absurdo, porque las áreas de todos los 
semiplanos son finitas é iguales. (262 y 271 -II). 
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