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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
V.—Círculo y esfera. 
289. I. Toda circunferencia, cuyo radio valga un cuadrante , es una 
linea recta. 
Demostración. —(Fig. 268). Sean O el centro de la circunferencia, y A,B,C, 
tres puntos cualesquiera de la misma. Si, como supone¬ 
mos, los radios OA, OB, OC son cuadrantes de recta, en 
los triángulos OAB y OBC serán rectos los ángulos 
OBA y CBO (286-1), lo cual prueba que A, B, C están 
en línea recta; luego la circunferencia, de que se trata, es 
una línea recta. 
II. Reciprocamente , toda recta es una circunfe¬ 
rencia, que tiene por radio un cuadrante. 
En efecto (fig. 268), si en un plano arbitrario, que 
contenga á la recta dada AB, trazamos dos rectas norma¬ 
les á ella en los puntos A y B, estas dos rectas se cortarán (273). Si O es uno de 
los dos puntos de intersección, en el triángulo birrectángulo OAB serán cua¬ 
drantes los lados OA y OB; de lo cual resulta (I) que la circunferencia des¬ 
crita en el plano de que se trata, con centro O y radio OA, será una recta que 
pasará también por B, ó sea la AB; luego esta recta es una circunferencia que 
tiene por centro O, y por radio un cuadrante OA. 
Observación. —El punto opuesto del O también dista un cuadrante de todos 
los puntos de la recta AB; y así, toda recta es una circunferencia, cuyo plano es 
uno cualquiera de los que contienen á la recta; y tiene en cada uno de ellos dos 
centros, que son puntos opuestos. 
290. I. Toda superficie esférica, cuyo radio valga un cuadrante , es un 
plano. 
Demostración.— (Fig. 269). Sean O el centro de la esfera, M, A, B,.... pun¬ 
tos de su superficie, y O, el punto opuesto 
al O. Si, como suponemos, cada una de las 
distancias OM, OA, OB,.vale un cua¬ 
drante, lo mismo valdrán las distancias 
0,M, O, A, 0,B.; por lo tanto, la super¬ 
ficie esférica de centro O y radio igual á un 
cuadrante, es el lugar de los puntos, tales 
que cada uno equidista de los extremos 
Oy O, del segmento rectilíneo OMO,; luego (287 - IV) aquella superficie esfé¬ 
rica es un plano normal á dicho segmento OMO, en su punto medio M. 
II. Recíprocamente, todo plano es una superficie esférica, que tiene por 
radio un cuadrante. 
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