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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
Demostración. —1.° Si A es un polo de la recta a, cae sobre la recta b , 
recíproca de a\ los planos que contienen á b contienen también á A, y son nor¬ 
males á a (300. -II. -3.°); luego, por el punto A, pasan infinidad de planos norma¬ 
les á la recta a. 
2.° Si B no es polo de la recta a, no cae sobre la recíproca b de a. Los 
planos que pasan por b, y ninguno más, son normales á la recta a\ pero, entre 
todos ellos, hay uno, y solamente uno, que pasa por B, y es el plano frB; luego 
por el punto B pasa un plano ¿>B normal á la recta a\ y no pasa otro. 
VIII. — Hiperciclo, hiperesfera y pseudo=cilindro. 
301. El hiperciclo, que hemos estudiado en la Geometría hiperbólica, puede 
ser definido diciendo que es el lugar de los puntos de un plano, equidistantes de 
una recta del mismo, y situados á un mismo lado de ella. Análogamente, la su¬ 
perficie de la hiperesfera es el lugar de los puntos equidistantes de un plano, y 
situados á un mismo lado de él. Admitidas estas definiciones, y conservando para 
las denominaciones de base y alturas la misma significación que se les atribuye 
en la Geometría hiperbólica, podremos enunciar y demostrar, para la Geometría 
elíptica, las leyes siguientes. 
1. ° El hiperciclo es una circunferencia de círculo, que tiene por centros 
los polos de la base. 
2. ° La superficie de la hiperesfera es la de una esfera; y los dos centros 
de ésta son los polos de la base de aquélla. 
Demostración. —(Fig. 279). Sean A, B, C.. puntos del hiperciclo h, y b 
la recta que le sirve de base (representada 
en la figura por un arco de círculo). Las 
alturas AM, BN, CP,... de aquellos pun¬ 
tos concurren (prolongadas) en los dos po¬ 
los de la recta b (293). Designemos por O 
el polo que está al mismo lado de esta recta 
b que el hiperciclo; y serán cuadrantes las 
distancias OM, ON, OP,... La altura, del 
hiperciclo, por ser la distancia de un punto 
á una recta, debe ser igual ó menor que un 
cuadrante. En el primer caso, el hiperciclo 
se reduce, evidentemente, á un punto, que 
es el polo O. Pero si la altura es menor que 
un cuadrante, las distancias OA. OB, OC,.,. son iguales, como complementos 
de las alturas iguales AM, BN, CP,...; luego, en este caso, el hiperciclo es una 
circunferencia, que tiene por centro el polo O, y por radio el complemento de la 
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Fig. 279 
