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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
cavos que forman las rectas b y c, están bisecados en M y M,, N y N, , por 
. la normal común BC : efectivamente, los trián- 
A 
gulos AMN y A,MN son iguales, porque tienen 
un lado común MN, é iguales sus ángulos en 
M y N; y de la igualdad de estos triángu¬ 
los, se sigue la de sus lados homólogos AM y 
A,M, AN y A,N, lo que prueba que M y N 
son los respectivos puntos medios de los lados 
AMA, y ANA,. De igual modo se probaría 
que M, y N, bisecan á las semirrectas AM,A, 
y AN,A, . 
304. Dos planos tienen una normal común, 
y solamente una. 
Demostración.— Sean a y 6 los dos planos, A un polo de a, y Bun polo de 6. 
Estos dos puntos A y B no coinciden ni son opuestos, y determinan, por consi¬ 
guiente, una recta. Las rectas que pasan por A, y solamente ellas, son normales 
al plano a; las que pasan por B, y ninguna más, son normales á 6; luego la recta 
AB, y ninguna otra, será normal á a y 6. Luego estos dos planos a y 6 tienen 
una normal común AB, y no tienen otra. 
X.—Algunas propiedades riemannas del diedro y del ángulo sólido. 
305. I. Dos planos diferentes se cortan siempre (275) según una recta (272), 
y dividen al espacio total en 4 regiones, que son ángulos diedros. Como la recta 
es una circunferencia, y el semiplano un círculo, el diedro es un cuerpo comple¬ 
tamente limitado; y su volumen es finito , por serlo el espacio total, del que es 
una parte. En el diedro , la arista es una circunferencia (289-11), y las caras son 
círculos. 
II. Las caras de un diedro son normales á la recta que une sus centros. 
Demostración.—(F ig. 282). Sean ABCD la arista de un diedro, y M y N los 
centros de sus caras. Las distan¬ 
cias AM, BM, AN y BN son cua¬ 
drantes (289 11); luego (286-1), en 
los triángulos AMN y BMN, son 
rectos los ángulos en M y N. Po¬ 
demos, pues, afirmar que la recta 
MN es normal en M á dos rectas 
MA y MB de la cara MAB, y en 
N á dos rectas NA y NB de la 
cara NAB; luego MN es normal 
á los planos de ambas caras, 
M 
Fig. 282 
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