ALGUNAS PROPIEDADES RIEMANNAS DEL DIEDRO Y DEL ÁNGULO SÓLIDO 219 
III. El diedro es un cuerpo de revolución. 
Efectivamente (fig 282), puesto que la recta MN que une los centros de las 
dos caras es normal á ellas, si el triángulo AMN gira alrededor de la recta MN, 
el cuadrante MA describirá una cara del diedro; el cuadrante NA la otra cara; 
y todo el triángulo AMN, el diedro dado. Luego éste es un cuerpo de revolu¬ 
ción, cuyo eje es la recta MN. 
306. (Fig. 283). Sean OAO, , 0B0 1 , OCO, , ODO, , OEO, diferentes se¬ 
mirrectas no situadas en un mismo plano, y que tienen los mismos extremos O y 
O,: la superficie constituida por los 
ángulos rectilíneos AOB, BOC, 
COD, DOE, EOA, es completa¬ 
mente cerrada, y divide al espacio en 
dos cuerpos que se llaman ángulos 
sólidos ó ángulos poliedros. Cada 
uno de estos dos ángulos sólidos tiene 
por vértices los dos puntos O y O,; 
por aristas las semirrectas OAO, , 
OBO„ OCO, , ODO, , OEO„ y por 
caras los ángulos rectilíneos AOB , 
BOC ..que forman la superficie. Infiérese de estas definiciones, que el ángu¬ 
lo sólido es un cuerpo completamente limitado, de volumen finito ; que tiene 
dos vértices; y que sus aristas son medias rectas. 
Un ángulo sólido se denomina convexo , cuando queda todo él á un mis¬ 
mo lado del plano en que yace una cualquiera de sus caras. Angulos die¬ 
dros de un ángulo sólido convexo son los diedros que, dejando en su interior 
á todo el ángulo sólido, están formados por dos caras consecutivas. Por con¬ 
siguiente, los diedros y las caras de un ángulo sólido convexo son menores que 
180 °. 
Una porción de espacio, limitada por una hoja cónica reentrante, se llama 
ángulo cónico, y puede considerarse como un ángulo sólido con infinito número 
de caras. Claro está, que el ángulo cónico tiene dos vértices, que son puntos 
opuestos. 
Dos ángulos sólidos ó cónicos, se llaman opuestos por sus vértices , cuando 
las aristas del uno son las prolongaciones opuestas de las aristas del otro. En 
general, las denominaciones usadas para los ángulos sólidos y cónicos, en la Geo¬ 
metría vulgar, se emplean con idéntico ó análogo sentido en la Geometría 
elíptica. 
307. En el ángulo sólido ó cónico, los puntos medios de las aristas caen 
sobre un plano, que es el polar de sus vértices. 
Porque aquellos puntos medios distan de los vértices un cuadrante (290-1). 
308. Dos ángulos sólidos ó cónicos, opuestos por sus vértices, son iguales ; 
y cada vértice del uno tiene por homólogo, en el otro, el vértice opuesto, 
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Fig. 283 
