222 
GEOMETRÍA ELÍPTICA 
P i 
que C y M determinan una recta CM. Sabemos, además, que CM es normal á 
AB, por contener á su polo C. Las dos intersecciones A y A, déla recta ABcon 
su normal MC son puntos opuestos, diferentes de B y B,; y, por consiguiente, 
uno de ellos, A, cae sobre la semirrecta BNB,, y el otro, A t , sóbrela prolonga¬ 
ción opuesta BN,B,. De los dos segmentos suplementarios MA y MA,, el prime¬ 
ro es menor que el segundo, porque MA vale menos que un cuadrante CA; luego 
MA es la distancia del punto M á la recta BN; y queda demostrado que el ex¬ 
tremo A de la distancia MA cae sobre el lado BNB, del ángulo agudo B; no so¬ 
bre su prolongación opuesta BN,B,. 
312. I. (Fig. 289). Si el vértice A es polo de la base BC, el triángulo ABC 
tiene infinidad de alturas correspondientes á esta base, 
todas iguales á un cuadrante; pero, en el caso contrario, 
sólo tiene dos alturas AP y AP, , que son suplementa¬ 
rias; y la menor de ellas, OP, mide la distancia del vér¬ 
tice A á la base BC. 
II. (Fig. 290). Si el triángulo ABC tiene agudos 
los ángulos en B y C, la menor AP de sus dos alturas 
relativas á la base BC, tiene su extremo P sobre esta 
base; no sobre su prolongación. 
Demostración —El extremo P cae sobre la semi- 
recta BCB,, porque C'BA es agudo: y sobre la semirrecta 
CBC, , porque es agudo ACB (311); luego P cae en la parte común á estas dos 
semirrectas, ó sea sobre el lado BC. 
313. I. En un ángulo inferior á uno llano, el lugar de los puntos de su 
superficie, tales que cada uno equidista de 
sus dos lados, es su semirrecta bisectriz. ^ 
IL. En el triángulo, las bisectrices de 
sus tres ángulos, concurren en un mismo 
punto interior, el cual equidista de los tres 
lados 
Se demuestran estas dos proposiciones de 
igual modo que en 'as Geometrías vulgar é 
hiperbólica. 
Xíl.—delaciones entre los lados de un polígono. 
314. Un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma de los 
otros dos, y mayor que su diferencia. 
La demostración que para este principio se dió en la Introducción (32), sub¬ 
siste en la Geometría elíptica; pero en vez de las proposiciones 18-V. 3 T 24, hay 
que fundarse en sus análogas, que son las 311 y 309. 
236 
