RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DE UN POLÍGONO 
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315. I. En el polígono, un lado cualquiera (que no exceda á media recta) 
es menor que la suma de todos los otros. 
II. Para ir de un punto á su opuesto, existen infinidad de caminos míni¬ 
mos, que son semirrectas, rara ir de un punto d otro no opuesto, existe un solo 
camino mínimo, que es el segmento inferior d media recta, terminado por am¬ 
bos puntos. 
III. Si en un semiplano, una línea convexa está envuelta por otra, la con¬ 
vexa tiene menor longitud. 
Se demuestran todas estas proposiciones de 
igual manera que sus correspondientes de la esféri¬ 
ca en la Geometría vulgar. 
316. La suma de los lados de un polígono 
convexo es menor que una recta. 
Efectivamente (fig 291), un polígono convexo 
ABCDE y la recta AB están en un mismo semi- 
plano; y, en él, esta recta ABA,B envuelve al po¬ 
lígono; luego (315-III) el perímetro de éste es me¬ 
nor que la longitud de aquella recta. 
XIII.— Relaciones entre los ángulos de un polígono. 
317. Llamaremos exceso de un n-g ono á la diferencia que se obtiene res¬ 
tando de la suma de sus ángulos 2 n —4 rectos. Según esto, el defecto de un 
triángulo es la suma de sus tres ángulos, menos 2 rectos. Cuando un n - gono es 
convexo, su exceso es igual á 4 rectos, disminuido en la suma de sus n ángulos 
externos. 
318. La suma de los tres ángulos de un triángulo excede á dos rectos; y 
la mitad del exceso equivale á la superficie 
del triángulo . 
Demostración. — (Fig. 292). Sean ABC 
el triángulo, A, B, C sus ángulos y A,, B,, C, 
los puntos respectivamente opuestos á los 
vértices. Como el plano es una superficie es¬ 
férica, y las rectas del mismo circunferencias 
máximas, las tres rectas AB, BC, CA dividen 
el plano ABC en 8 triángulos, que son los 
ABC, ABC,, AC,B,, AC,B, y sus opuestos; 
de manera que se tienen las siguientes rela¬ 
ciones entre dichos triángulos y los ángulos 
A, B, C del triángulo propuesto. 
C 
A — ABC -fi A B,C,, B = ABC -\- ACB,, C-ABC + ABC,. 
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