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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
(La primera igualdad resulta de ser A = ABC A A 4 BC, y A^C igual á su 
opuesto AB,C,). Sumando ordenadamente las tres expresiones de A, B, C, ha¬ 
llamos 
A + B+C = ABCX2 + [ABC + ABC 1 -i-AB 1 C 1 + ACB 1 ]; 
y, como la suma incluida en el paréntesis vale un semiplano, ó sea dos ángulos 
rectos, tendremos, designando por R el ángulo recto, 
A+B + C = ABCX2d-2R; 
y de esta igualdad, se deduce 
A+B + 02R, ABC = 4- (A-fB + C-2 R), 
que son las dos relaciones que deseábamos demosstrar. 
Corolarios. —En el triángulo , la suma de dos ángulos es mayor que el 
externo adyacente al tercero. 
En el triángulo unirrectángulo, la suma de los dos ángulos oblicuos es 
mayor que un recto. 
Si la superficie, de un triángulo tiende hacia cero , la suma de sus tres án¬ 
gulos tiende hacia dos rectos. Y viceversa. 
Si la superficie de un triángulo crece desde cero y tiende hacia su valor 
máximo , que es un semiplano, la suma de sus ángulos crece desde 2 hasta 6 
rectos, 
Observación. — Si se miden con un buen teodolito los ángulos de un trián¬ 
gulo; cuyos vértices sean tres estaciones escogidas á voluntad, la suma de los 
valores obtenidos difiere muy poco de 180°, y la pequeña discrepancia puede ser 
atribuida á los errores que implica la observación. No prueba esto, de ningún 
modo, que la Geometría elíptica esté en desacuerdo con el universo real; prueba 
tan sólo que, en todos los triángulos que hasta hoy se han observado, el exceso 
angular (si no es nulo) es inapreciable, por su pequeñez, con nuestros actuales 
instrumentos de medición. De la Geometría elíptica no se puede, pues, afir¬ 
mar QUE SEA CONTRARIA Á LA REALIDAD. 
319. La suma de los ángulos de 
un n -g ono convexo excede á 2 n — 4 rec¬ 
tos; y la mitad del exceso equivale á la 
superficie del polígono. 
Demostración. —(Fig. 293). Un po¬ 
lígono convexo ABCDEF, de n lados, 
queda descompuesto, mediante las diago¬ 
nales que parten de un mismo vértice A, 
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Á 
Fig. 293 
