230 
GEOMETRÍA ELÍPTICA 
mayor que el de BC; es decir, que DG> CG, ó CH> CG. Y, puesto que estos 
dos lados del triángulo HCG son desiguales, también lo serán los ángulos opues¬ 
tos; y se tendrá HGC> CHG; ó HGC> DGH. Finalmente, como esta relación 
entre ángulos céntricos de la circunferencia recta AB subsiste para sus arcos 
FB y FA, será FB>FA, que es la' primera desigualdad, que nos proponía¬ 
mos demostrar. 
2.° (Fig. 303). Por ser agudo, según la hipótesis, el ángulo DCB, y rectos 
los A, B, y F, son obtusos ADE y FEC (319 - Cor.)\ luego, en los cuadriláteros 
ADEF, FECB, se tiene EF > DA, CB>EF. 
En las direcciones AD y FE, llévese AG = 
FE, y FH = BC, con lo cual es FE — AD = DG, 
BC — FE =EH; y se trata de probar que EH < 
DG. Tomando á partir de E, en la dirección EF, 
la distancia El =EH, resultan iguales los trián¬ 
gulos EHC, EID; é iguales, por consiguiente, 
los ángulos homólogos en H é I. Por ser iguales 
EH y El, bastará probar que El < DG. Los án¬ 
gulos en C, H, G y E de los cuadriláteros birrec- 
tángulos FHCB, AFEG son obtusos, porque tan- 
to C y H como E y G son iguales, y suman más 
de dos rectos (326 y 319-Cor.); luego también es obtuso el ángulo EID (por 
ser igual al EHC), y agudo su adyacente DIF. Así, en el cuadrilátero birrec- 
tángulo AFID, es agudo el ángulo DIF, obtuso, por consiguiente, el cuarto 
ángulo ADI, y agudo su adyacente IDG. Y, puesto que en el cuadrilátero 
DIEG, con los ángulos iguales en E y G, es el ángulo IDG < EID, será (326) 
El < DG, ó EH < DG, ó CB — EF < EF — DA, que es la segunda relación del 
enunciado. 
XVI.—Leyes comunes á las tres geometrías parabólica, hiperbólica 
y elíptica. 
329. En la Introducción de este Tratado , expusimos algunas leyes geomé¬ 
tricas, que son verdaderas, independientemente de la verdad ó falsedad del Axio¬ 
ma XI de Euclides, y dijimos que todas ellas (exceptuando las que van precedi¬ 
das de uno ó dos asteriscos) eran también verdaderas en la Hipótesis de Rie- 
mann. Así es, en efecto: muchas de aquellas leyes quedan ya establecidas en los 
artículos precedentes de esta Geometría elíptica; y mediante ellas, se pueden 
establecer las restantes, empleando las mismas demostraciones que figuran en 
los tratados de Geometría vulgar. El lector, versado en el estudio de los Ele¬ 
mentos, puede comprobar esto fácilmente, y debe admitir, por lo tanto, que todas 
244 
