TEORÍA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES 
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En resumen, tenemos demostrada la limitación 
AA' v BB' ^ AB —A'B' 
~üc > ~Wc > Á 7 ^ ’ 
para el caso de que BB' y B'C sean comensurables. 
Examinemos, ahora, el caso en que no lo sean. 
Designemos (fig. 306) por D el punto medio de BB', y por a la n - ava par¬ 
te de B'C. El segmento B'D no 
será un múltiplo de a, pero se 
compondrá de un múltiplo B'X 
de « y de un resto XD < a. 
Sean E é Y las respectivas pro¬ 
yecciones normales de D y X 
sobre CA. Si el número n es 
arbitrariamente grande, a será 
arbitrariamente pequeño; y por ^ 
tanto, 
Fig. 306 
lím. YA' - EA', lím. XB' = DB', lím. YX = ED. 
Mas, por ser XB' y B'C comensurables, puede aplicarse al par de triángu¬ 
los YXC y A'B'C, la fórmula establecida para el par ABC y AB'C'; de mane¬ 
ra que se cumple la limitación. 
YA' x XB' n YX — A'B' 
A'C > B'C A'B' 5 
y de ella, tomando los límites y duplicando sus miembros, se deduce 
2 EA' — 2 DB' — 2(ED —A'B') . 
A'C > B'C > A'B 7 ’ 
y combinando estas relaciones con las desigualdades 
2 (ED — A'B') > AB - A'B', 
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AA'>2 EA', 
