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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
que se deducen de las AE > EA', ED — A'B' > AB—ED (328), obtenemos nue¬ 
vamente la limitación 
AA' v BB' ^ AB —A'B' 
A 7 C‘ > B'C > A 7 ! 7 
la cual queda establecida para todos los casos. 
Finalmente, añadiendo una unidad á cada miembro, se obtiene, tras fácil 
transformación, la fórmula del enunciado. 
331. Si en un triángulo rectángulo ABC, un ángulo agudo C permanece 
constante , cuando la hipotenusa a mengüe , desde 90° hasta 0, también men¬ 
gua la rasón b : a, pero crece la c : a; y ambas tienden hacia límites finitos y 
comprendidos entre 0 y 1. 
Demostración — (Fig. 307). Sean ABC el triángulo, rectángulo en A, B' un 
punto de la hipotenusa (diferente de sus 
extremos) y A' la proyección normal de 
B' sobre AC. Según el teorema anterior, 
se cumplen las relaciones 
AC BC AB ^ BC 
A'C > B'C ’ A'B' < B'C ’ 
y, mediante la permutación de los térmi¬ 
nos medios, resultan estas otras: 
AB ^ A'B' 
BC < B'C ’ 
AC v A'C 
BC > IÉPcT ’ 
las cuales expresan que, si la hipotenusa BC<90° mengua, convirtiéndose en 
B'C, mengua también la razón AC : BC, y crece la AB : BC. 
Falta demostrar que estas dos razones tienden hacia límites inferiores á 1, y 
diferentes de cero. Sean D y D' las proyecciones normales de B y B' sobre 
la normal á CA en C. En el cuadrilátero trirrectángulo A'B'D'C, es (326) 
A'B'<CD', A'C > B'D'; y, por consiguiente, según lo demostrado, será 
AC v A'C v B'D' BD 
BC > B'C > B'C > “BC" ’ 
es decir, que 
AC v A'C ^ BD 
BC > B'C > BC ; 
AB ^ A'B' ^ CD' ^ CD 
BC < B'C < B'C 
AB ^ A'B' ^ CD 
BC < B'C < BC ‘ 
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