GEOMETRIA ELIPTICA 
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lej); para el eje de las x, el OX; y para el eje de las y, el que indica el lado 
final OY del ángulo recto y positivo XOY. Designemos, finalmente, por a el 
ángulo XOA, por x la abcisa BM del punto M, por y su ordenada CM, y por r 
la distancia OM, y supongamos que r es una longitud variable que tiende hacia 
cero. Con estos supuestos, las funciones goniométricas ó circulares seno y cose¬ 
no del ángulo a, ó de cualquiera de sus arcos, se definen por las relaciones 
sen a = lím. 
y_ 
r 
eos a = lím.- 
r 
Para que estas definiciones sean admisibles, probaremos que, si el lado OA 
y x 
no coincide con ninguno de los ejes coordenados, las razones — 1 — tienden hacia 
límites finitos, cuando r tiende hacia cero; y que, si por el contrario, el lado OA 
coincide con alguno de los dos ejes, aquellas razones son constantes. 
1. ° Si el lado OA no coincide con ninguno de los dos ejes coordenados, en 
otros términos, si el ángulo a no es nulo ni múltiplo positivo ni negativo de un 
recto, en los triángulos rectángulos OMC, OMB, cuyos ángulos en O permane¬ 
cen invariables, los valores absolutos de las razones x: r, y :r tienden hacia lími¬ 
tes finitos, comprendidos entre O y 1 (331); lupgo hacia esos mismos límites, afec¬ 
tados respectivamente del signo que les corresponda, tienden aquellas razones. 
2. ° Si el lado OA coincide con alguno de los ejes, ó de otro modo, si el án¬ 
gulo a es nulo ó múltiplo de un recto, una de las dos coordenadas del punto M es 
nula, y la otra vale r ó — r, de lo cual resulta que las razones y:r y x:r 
son constantes, de manera que se tiene 
sen 0 = 0, sen 90°= 1, sen 180° = 0, sen 270° = —1, 
eos 0 = 1, eos 90° = 0, eos 180° = — 1 eos 270° = 0. 
II. Con los mismos supuestos del párrafo precedente, existen las relaciones 
OB , OC 
sena = lim.-> cosa = hm.- 
r r 
Efectivamente, por tender hacia cero los lados del cuadrilátero trirrectángu- 
lo OCMB, y por las definiciones que hemos dado del seno y del coseno, se tiene 
(332) 
CM . /CM OB \ / CM \ / OB \ „ 
sena = hm. _ = km. {^ • — ) = [ l.m. w ) ( hm. — ) = lím. 
OB 
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