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240 GEOMETRIA ELIPTICA 
335. Si dos ángulos son complementarios, el seno de cada uno es el coseno 
del otro; y la tangente de cada uno es la cotangente del otro, 
Demostración.— (Fig. 311). Sean OX y O Y los dos ejes coordenados, a 
un ángulo XOA, cuyo lado 
inicial es la parte positiva 
'OX del eje de la x, y su 
segundo lado OA; OE la bi¬ 
sectriz del ángulo recto y 
positivo XOY, M un punto 
del lado OA, M' su simétri¬ 
co, respecto de aquella bi¬ 
sectriz, x é y las coordena¬ 
das de M, x' é y las de M'. 
Como toda la figura tiene 
un eje de simetría OE, las 
líneas homologas son igua¬ 
les; luego y' — x, x'= y. Es¬ 
tas igualdades se cumplen, 
no sólo en valor absoluto, 
sino en signo; porque, á cau¬ 
sa de la misma simetría, los 
puntos M y ¡VF están situa¬ 
dos los dos en el ángulo recto XOY, ó los dos en el opuesto X'OY', ó uno en el 
YOX', y el otro en Y'OX. Por otra parte, el ángulo a, cualquiera que sea la 
posición de su lado final OA, tiene por complemento cierto ángulo de lado ini¬ 
cial OA y de lado final O Y, porque la suma ó resultante XOY de los dos án¬ 
gulos complementarios XOA y AOY, descritos en el sentido que les correspon¬ 
da, debe ser un cuadrante. Mas, siendo OE un eje de simetría, dicho comple¬ 
mento AOY es igual en magnitud y signo á uno de los ángulos XOM' de lado 
inicial OX y lado final OM'. En resumen: l.° Los ángulos a y 90° — a, cuyo 
lado inicial es OX, tienen por respectivos lados finales OM y OM'; y 2.° Las 
coordenadas x é y de M, y las x' é y' de M', satisfacen á las igualdades y' — 
x, x' = y. Por consiguiente, si OM tiende hacia cero, tendremos: 
sen (90° — a) = lím. 
OM 
lím. 
OM 
eos a, 
co8(90»-«) = lím. 6 ^ r =llm.^ r 
luego 
• sen a: 
sen (90° — a) = eos a , 
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eos (90° — a) = sen a . 
