TEORÍA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES 
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demostradas, a por 90 o —a, resultan los desarrollos de sen(a-|-6) y de 
sen (a —6). 
340. Si el ángulo x tiende hacia un límite a, será 
lím. (sen x) — sen a, lím. (eos x) = eos a. 
Efectivamente, el ángulo variable x y su límite a se diferencian en un ángulo 
evanescente e, y se tiene 
sen x = sen (a £) = sen a eos £ -f- eos a sen e, 
eos x = eos (a -j- e) = eos a eos £ — sen a sen £. 
Cuando x tiende hacia su límite a, e y sen £ tienden hacia cero, y eos £ 
hacia 1 (334-1). Tomando, pues, los límites en las dos igualdades últimas, resul¬ 
tarán las del enunciado. 
341. Conociendo el coseno de un ángulo a, hallar el seno y el coseno de su 
mitad. 
Reemplazando a y 6 por -|« en las fórmulas 1. a y 2. a del párrafo 339, se 
halla el sistema de ecuaciones 
eos 2 4-CC + sen 2 a = 1, eos 2 4* a — sen 2 — a = eos a, 
del cual se deducen, para las incógnitas sen4~ a y cos4“ a » los valores 
1 1/1 — eos a i \ / 1 -H eos a 
sen ~ a = y -^-* eos T a = y- - - 
que resuelven el problema. 
342. Las funciones goniométricas de un ángulo dado tienen los mismo 
valores en la Geometría vulgar que en la elíptica. 
Demostración — Como las fórmulas que sirven para expresar el seno, tan¬ 
gente y cotangente de un ángulo, mediante su coseno, son las mismas en ambas 
geometrías, bastará probar nuestra proposición para el coseno; ó mejor aún, para 
el coseno de un ángulo positivo, recto ó agudo, pues en último término á uno de 
estos dos casos se puede reducir siempre la determinación del coseno de un án¬ 
gulo dado, positivo ó negativo. Esto advertido, distinguiremos en la demostración 
tres casos: l.° Que el ángulo dado sea la 2” -ava parte de un recto; 2.° Que 
sea múltiplo de dicha parte alícuota; y 3.° Que no lo sea. 
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MEMORIAS.—TOMO Vil 
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