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GEOMETRÍA ELÍPTICA 
l.° La reiterada aplicación de la fórmula 2. a del párrafo 341 al ángulo recto, 
á su mitad, cuarto, octavo, da (partiendo de la igualdad eos 90° = 0), 
eos 
90° 
4-V % 
eos 
90° 
4-V2 + V2; 
eos 
90° 
r 
4- V 2 -f V 2 4- V2> 
y estas igualdades prueban que los cosenos (y por lo tanto los senos) de los án- 
90° 90° 90° 90° \ , . , _ 
gulos — ■ 77 - t - 1 ——>••• ——1 1 son los mismos en la Geometría euclidea 
6 2 4 8 2 n > 
que en la ríemanna, puesto que en ambas se expresan por los mismos números. 
90° 
2.° Designemos por e el ángulo —-Si el ángulo dado a es un múltiplo de 
e, las relaciones 
sen 2 £ = 2 sen £ eos e, 
eos 2 £ = eos 2 £ — sen 2 £, 
sen 3 £ = sen 2 £ eos £ -(- eos 2 £ sen £, 
eos 3 £ = eos 2 e eos £ — sen 2 £ sen £, 
sen 4 £ = sen 3 £ eos £ -(- eos 3 £ sen £, 
eos 4 £ = eos 3 £ eos £ — sen 3 £ sen £, 
permitirán expresar los senos y cosenos de los ángulos 2£, 3£, 4£,..., mediante 
sen £ y eos £; pero estos dos valores numéricos, como asimismo las fórmulas que 
se obtengan, son los mismos en las dos geometrías euclídea y riemanna; luego, 
en ambas geometrías, el coseno de un ángulo dado a, que sea múltiplo de £, vale 
lo mismo. 
3.° Si a no es múltiplo de £, se compondrá de un ángulo u\ múltiplo de e, 
y de otro ángulo menor que £; y cuando n sea arbitrariamente grande, £ tende¬ 
rá hacia cero, y a' hacia a. Pero, al variar n, el coseno euclídeo y el riemanno de 
a' son constantemente iguales (2.° caso); luego también lo serán sus límites, ó 
sean los cosenos euclídeo y riemanno de a. 
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