RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Y RECTILÍNEOS 
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Demostración. —Bastará probar que, para todo triángulo rectilíneo ó esfé¬ 
rico ABC, rectángulo en A, se cumple la relación sen B = sen b\ sen a, porque 
de ella se deducen todas las otras relaciones de la Trigonometría esférica, de la 
manera que se hizo en la Geometría hiperbólica (199 y 200). 
Pues bien (fig. 323), sean OABC el triedro correspondiente al triángulo es¬ 
férico ó rectilíneo ABC, rectángulo en A, 
M un punto del radio OC, A' la proyección 
normal de M sobre OA, y B' la de A' so¬ 
bre OB. Como el diedro OA es recto, la 
normal MA' á su arista, trazada en la cara 
AOC, es normal á la otra cara. Además, 
de esta construcción, resulta MB' normal á 
OB. En resumen, en el triángulo MA'B' es 
recto el ángulo MA'B'; y el ángulo B' es 
una sección recta del diedro OB (ó de su 
suplemento), y por consiguiente, dicho án¬ 
gulo B' y el B tienen el mismo seno. Esto 
advertido, si el lado OM es arbitrariamente 
pequeño, también lo serán las distancias 
OA', OB' y los tres lados del triángulo A'B'M; y tendremos: 
Fig. 323 
sen B = sen B' = h'm. 
A'M 
B'M 
A'M : OM 
im ‘ B'M : OM ~ 
luego 
lím. (A'M : OM) sen b 
lím. (B'M : OM sen a 1 
sen B 
sen b 
sen a 
La proposición queda demostrada. 
III.—Metro natural. Longitud de un arco de círculo- 
347. En todas las fórmulas que vamos d exponer, relativas á longitudes, 
debe sobreentenderse que se toma por unidad angular el ángulo que multipli¬ 
cado por tc da por producto un ángulo llano (343 -Obs.), y por unidad de longi- 
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