METRO NATURAL. LONGITUD DE UN ARCO DE CÍRCULO 
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por a su ángulo céntrico AOB, por d la distancia BD entre un extremo B del 
arco y el radio OA que pasa por el otro extremo, se 
cumple la fórmula 
sen d. 
sen a 
Efectivamente, si OB = r, del triángulo BDO, 
1 sen d 
rectángulo en D, se saca sen r — — ; y sustitu- 
sen a 
yendo este valor de senr en la ecuación / = a sen r 
(349), obtendremos la fórmula del enunciado. 
Fig. 325 
IV— Áreas. 
351. Sabemos (319- Cor. 2.°) que todos los triángulos de igual exceso angu¬ 
lar son equivalentes. Por tanto, para medir las superficies, puede tomarse por 
unidad angular la superficie de un triángulo, cuyo exceso sea igual á un ángulo 
determinado. Este ángulo no debe satisfacer á otra condición que la de ser infe¬ 
rior á 360°, porque (318 - Cor. 4.°) el exceso angular de un triángulo puede va¬ 
riar desde 0 hasta 360°. 
En este tratado de Geometría elíptica, siempre que , al hablar de áreas , no 
se exprese qué relaciones existen entre las unidades angular, lineal y superfi¬ 
cial, debe sobreentenderse que se toma por unidad angular el ángulo céntrico 
de un arco circular que , en la Hipótesis euclideana, serla equivalente á su ra¬ 
dio; por unidad de longitud el metro natural (347); y por unidad de superficie 
la de un triángulo, cuyo exceso sea la unidad angular. Además, por brevedad, 
suele decirse '•'•área de una superficie ", "línea" ó “longitud de una línea “ y 
“ ángulo" á lás respectivas razones de estas cantidades con su unidad. 
352. El área de un polígono convexo es igual á su exceso. 
Observemos, en primer lugar, que la traducción de este enunciado, incorrecto 
por brevedad, es el siguiente: si se toma por unidad superficial el triángulo cuyo 
exceso es la unidad angular; el área de un polígono convexo tiene por medida 
el valor numérico de su exceso. 
Demostración. — Entre la superficie del polígono convexo P,la del triángulo 
unidad U y sus respectivos excesos p y u, se verifica (319- Cor. 3.°) la proporción 
P : U = p.u ; y como, según lo convenido, u es la unidad angular, las razones 
P : U y p : u son los respectivos valores numéricos del área del polígono y de su 
exceso angular. Luego estas razones son iguales. 
353. El área de un ángulo tiene por medida el duplo de su razón con la 
unidad angular. 
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