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GEOMETRIA ELIPTICA 
Demostración. — (Fig. 326). Sean U la unidad angular, E y D los puntos 
medios de sus lados, con lo cual el triángulo birrectángulo 
UED será la unidad de superficie, y valdrá la mitad del ángulo 
U. Por consiguiente, entre las superficies de los dos án¬ 
gulos A y U y la del triángulo UED, se verifica la relación 
A : UED = 2 (A:U). 
Corolarios. El área de unsemiplanovale 2 re; y la de 
todo el plano es 4ix. 
Porque, considerando estas dos figuras como ángulos, ios 
duplos de sus respectivas razones con la unidad angular valen 
i 2 Tí y 4 ti. 
Flff> 326 354. I. El área de un sector circular que tenga r por 
radio , a por ángulo céntrico y 1 por longitud de su arco, se expresa por cual¬ 
quiera de las dos fórmulas. 
s = 2 a sen 2 — r, 
S — I tan g\r, 
que se demuestran como sus correspondientes de la Geometría hiperbólica 
(236-T), sin otra variación que la de sustituir, en ios razonamientos, las funciones 
circulares á las hiperbólicas. 
II. El área del circulo se calcula por cualquiera de las expresiones 
s = 4 tt: sen 5 — r, 
s = c tang — r, 
en las que es r el radio, y c la longitud de la circunferenciá. 
Porque las fórmulas I son aplicables al sector cuyo ángulo céntrico vale 2 7 t, 
ó sea al círculo total. 
Observación. — Aplicando la primera de las dos fórmulas últimas al caso de 
ser r un cuadrante ó una semirecta, se obtienen las áreas del semiplano y del 
plano, que ya conocíamos. 
355. (Fig. 327). El área T de un trapecio 
circular ABCD se expresa por la fórmula 
T = 2 m sen-^-a. 
en la cual a es la altura BC, v m la longitud de 
la circunferencia media. 
Se demuestra por igual procedimiento que el 
mismo teorema de la Geometría hiperbólica, pero 
empleando funciones circulares en vez de hiperbó¬ 
licas (239-III). 
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Fig. 327 
