VOLÚMENES 
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Efectivamente, aplicando la fórmula s = tc sen2rX«> al caso en que la al¬ 
tura a vale la longitud 2 tc de toda una recta, resulta s — 2 k sen 2 r 
V. — Volúmenes. 
360. En este tratado de Geometría elíptica, al hablar de la medida de los 
cuerpos, si no se advierte qué relación existe entre las unidades angular , 
lineal , superficial y corpórea , debe sobreentenderse que la unidad angular es 
el ángulo del arco que , en el supuesto euclideo, serla equivalente á su radio; la 
de longitud, el metro natural (347); la de superficie, el triángulo cuyo exceso 
es la unidad angular; y la de volumen , el diedro cuya sección recta tiene por 
área el número — Además , por brevedad , suele llamarse u ángulo u , Hinea u , 
TC 
u superficie “ y u cuerpo u , á las respectivas razones de estas cantidades con la 
unidad. 
361. El volumen de un diedro tiene por medida el producto de por el 
área de su sección recta. 
Demostración. —Entre el volumen del diedro A, el del diedro U, tomado 
por unidad de volumen, y las áreas a y — de sus respectivas secciones rectas, se 
verifica la proporción A : U = a : ~ , ó A : U = tc «, que es lo que se quería de- 
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mostrar, puesto que A : U es la medida del volumen del diedro A. 
m 
Corolarios. —El volumen de un semi-espacio vale 2vP; y el de todo el es¬ 
pacio es 4 tc*. 
Porque estas dos figuras son ángulos diedros, cuyas respectivas secciones 
rectas, que son el ángulo llano y el giro, tienen por medida de su área 2 7i v 4tc 
(353 Cor.). 
362. (Fig. 329). Llamaremos sección media de un ángulo poliédrico ó cónico 
00,, á la sección producida en él por el plano que contiene 
los puntos medios A, B, C, D de sus aristas ó lados. 
El volumen de un ángulo poliédrico ó cónico tiene por 
medida el producto de 7C por el área de su sección media 
ABCD. 
Demostración. —1.° Un ángulo poliédrico 00, equivale 
á un diedro igual á la mitad de su exceso. Por consiguiente, 
su volumen tiene por medida el producto de tc por el área 
de la sección recta, correspondiente al semi-exceso. Pero 
esta sección recta es igual al semi-exceso del polígono 
ABCD (porque los ángulos de éste y los diedros correspon¬ 
dientes del ángulo poliédrico son de igual amplitud), é igual, 
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D 
