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La longitud de un arco de catenaria á contar desde el punto más bajo de 
ésta, hasta un punto de abcisa x , se deduce de: 
d.s = d.x ) = —(^ -j-e j d.x = y d.x = eos. h. x.d.x 
que integrada da: 
(3) 
1 ( X ~ X \ V 
s = — ye — e j = sen. h. x 
Atendiendo á que: 
tan. a 1 
sen. a =— ; - - - - ; eos. a 
Vi 
tan 2 , a 
V i tan 2 , a 
resulta también: 
(4) sen. a 
* — X 
e — e s 
X —A v 
=tan. h. x ; (5) eos. a = —- -=—= - \ -=sec. h.x 
e -\-e 
e -j-e 
x y eos. h. x 
De la ecuación (1) y de la (3) elevadas al cuadrado y restadas la segunda de 
la primera resulta la notable propiedad: 
(6) — s*- — l : eos. h. 2 x — sen. h. 2 x — 1 
De sumar las ecuaciones (1) y (3) resulta: 
X X 
y-j-s — e ósea e = eos. h. x -j- sen. h. x 
de la que se deduce, 
(7) v x = /. (y + s) =/. M (eos. h. ar + sen h. x) 
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