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tenaria sea la forma de equilibrio de un arco sometido á la acción de su propio 
peso ó, por las razones dichas antes, á la de una carga vertical sobre cada ele¬ 
mento de arco proporcional á éste ó, lo que es lo mismo, á la superficie compren¬ 
dida entre él, sus ordenadas, y el eje de abcisas. 
Igual consideración puede hacerse respecto á las curvas obtenidas trans¬ 
formando las catenarias por proyección sobre un plano oblicuo al suyo. 
Así, pues, la catenaria es la forma de equilibrio que permite construir un 
arco con el mínimum de espesor de sus dovelas y también la forma de equilibrio 
de un arco sometido á cargas solo verticales (sin que produzcan ningún em¬ 
puje horizontal), cuya intensidad fuera proporcional al arco ó á la superficie 
comprendida entre éste y el eje de abcisas colocado ahora en la parte superior. 
Así mismo la catenaria transformada por proyección, es la forma de equilibrio de 
un arco sometido á un sistema de fuerzas paralelas de intensidad proporcional á 
la superficie comprendida entre el arco, la proyección del eje de abcisas y la de 
las dos ordenadas extremas del arco. Estos casos son sensiblemente iguales á los 
de los muros de sillería descansando sobre arcos cuyas dovelas reciban la carga 
verticalmente sin empujes laterales. 
Un problema de utilidad, se presenta en la determinación de los esfuerzos 
sobre una cuerda ó cable sujeto por sus extremos y sometido á una fuerza en un 
punto intermedio y que obra en un plano vertical. Se presenta esta cuestión en 
los transportes aéreos por cable fijo. 
Las condiciones de equilibrio pueden establecerse observando que la primi¬ 
tiva cuerda formará ahora dos catenarias, una desde uno de los puntos extremos 
al punto de aplicación de la fuerza y otra desde éste al otro punto extremo, en 
la misma forma que si el punto de aplicación de la fuerza fuera un punto fijo de 
la cuerda. 
Sea m este punto fig. III y F\a. fuerza que actúa sobre él formando con la 
vertical el ángulo 6. Sean (x, y t ) y (x 2 y 2 ) los puntos fijos ó extremos de la cuerda 
cuyo desnivel sea h y d su distancia horizontal y represéntese por /, la longitud 
de cuerda m (x, y,) y por la longitud m (x, y. 2 ). El primer trozo de cuerda for¬ 
mará una catenaria cuyos ejes serán o x, o y, y llámese a á su parametro; igual¬ 
mente el segundo trozo formará otra cuyos ejes serán o o,r] y se representarán 
por y y o sus distanciay á los ejes ux, o y , siendo paralelos unos á otros, el pará¬ 
metro de esta segunda catenaria se representará por a 2 . Además sean a m ,j y a „ U 2 
los ángulos que las tangentes á cada una de las dos catenarias que concurren en 
el punto m forman con los ejes de abcisas y S»t Gin las longitudes de catenaria 
c, m, c a m contadas desde el punto m á los respectivos ejes de ordenadas. 
El punto m se halla en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas F, T m .i 
tensión de la cuerda superior dirigida en la dirección de la tangente á la cate¬ 
naria superior, en el punto m, y T m .2 tensión de la cuerda inferior en las análogas 
condiciones. Pro 3 ^ectando estas fuerzas en la dirección de F y en otra perpendi¬ 
cular á ella resultan como condiciones de equilibrio: 
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