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Luego el mayor número de puntos singulares que pueden suponerse en la 
función F, de orden n¡ es 
(n — 1) [n — 2) 
, pues solamente en este caso se tiene 
n (n -(- 1) 
2 
1 , (n — l){n — 2 ) 
~n (n — 1) 
Según esta conclusión al suponer en dicha función F, solo puntos múltiplos de 
dos ramas para mayor sencillez correspondientes á tangentes separadas ó no, sin 
admitir otros puntos singulares de mayor orden, podremos escribir 
d ■ r > jn-l)(n-2 ) 
~ = 2 
siendo d los puntos múltiplos ordinarios y r los de retroceso. 
Esta fórmula conduce inmediatamente al conocimiento del género cero de la 
función, cuando se considera el signo igual. 
Después de estos preliminares, podemos ya entrar en consideraciones que se 
refieran á la determinación del genero de la función F. 
Supongamos ahora otra función <í> ( x,y) — o, cuyo grado sea En su 
virtud la curva correspondiente á O cortará á la de F, en mn puntos. 
Fácilmente se concibe que pueden considerarse muchas otras curvas de gra¬ 
do ni que pasen por los mismos n puntos de F, las cuales podrán expresarse ana¬ 
líticamente por la fórmula general <í> -} - FG ~o, siendo G un polinomio cualquiera 
de grado m — n. 
Verdaderamente que la indeterminación que se supone en los coeficientes del 
polinomio G, permite anular igual número de coeficientes en $. 
„ . , , . , (ni —— n-\-2) 
Desuertequesiendo^—---- loscoeficientesde $,y-—-, 
los de G. basta hallar la diferencia de estas dos fórmulas para tener los que nos 
quedan á determinar 
(m -|- 1) (m + 2) (m — n-\-1) ( m-n-\-2) _ n (2m-\-3 — n) 
— - _ g 
Esta fórmula representa el número de coeficientes restantes á los supuestos 
primero, pertenecientes á la función <b. 
Ahora bien, en el concepto de que la curva correspondiente á esta función <b, 
pase por los puntos singulares d -)- r de F, la fórmula que da el número de puntos 
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