- 12 — 
completamente determinados los coeficientes que corresponden á la función tjj (x), 
según los principios anteriores, se comprende fácilmente que vendrán expresados 
en función de dos cualesquiera de ellos, tales, por ejemplo, como Ay B, resul¬ 
tando en definitiva la expresión AM-\- BN~ o, siendo M y N funciones racionales 
de las coordenadas de los puntos arbitrarios que se hayan tomado. 
En este concepto la función Q, (x) que depende de q correspondiente á los pun¬ 
tos arbitrarios tomados, será del grado q — 1 -\-2d-\- 2r — mn— p — 1, lo cual 
obliga á que el grado de R (x ) sea p-\-1, para que el producto corresponda al gra¬ 
do mn de ^ ( x ). 
De suerte que se tendrá 
mn mn—p — 1 p-\-l 
<H*) = Q( x ) R ( x ) 
y en el supuesto de p~o, resulta: 
mn m n — i 1 
(j; (X) = Q(x) R(x) 
Luego la función R (x), es de primer grado y al determinar su valor en la 
igualdad anterior, resultará dependiente de AM\ BN, ó sea de A (M -\- Nt ) al 
B 
suponer —~t; así, pues, x, será racional en t y de los puntos arbitrarios. 
En cuanto á la y, es de ver que reunirá condiciones análogas á las de x, pues¬ 
to que para su determinación basta atender al sistema 
= $ (Z,y) -j- F(Z,y) G {l,y) — o , 
conforme hemos indicado ya en otro lugar, siendo 1- un valor de x; de modo que 
al determinar el m. c. d. de esas dos funciones anteriores, refiriéndonos á la va¬ 
riable y, llegaremos á una ecuación de primer grado en y, puesto que el último 
resto será cero, por representar la función <|> (x) para cuando ¡j, siendo £, una 
raíz de tj> (x) — o. 
De suerte que y, depende de los mismos elementos que x, es decir que será 
también función racional en t. 
En suma, se tiene que siendo cero el género de la función, tanto la x, como 
la y, de dicha función son funciones racionales de un mismo parámetro, ó sea de 
una misma variable, tal como t, y por consiguiente, según la definición atribuida 
á las curvas unicursales, dedúcese que dichas curvas pertenecen al género cero. 
Varias consecuencias importantes son las que se deducen del principio ante¬ 
rior 
598 
