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l.° Sabemos que la fórmula que determina el género de una función es 
(n — l)(n — 2) J . 
--:- a — r~p, luego si p — O, se obtiene 
(n — 1) (n — 2) 
d r 
Resultado importante por cuanto nos manifiesta que en el género cero, re¬ 
ferente á una curva unicursal del orden n, la suma de los puntos singulares que 
, (n — 1) (n — 2) 
contiene es igual á-—-• 
Así, pues, en el supuesto de que todos los puntos singulares sean dobles, se 
dF 
deduce, según el análisis, que es suficiente que las funciones F{x,y) — o, ——- — o, 
3 F (n — 1) (n — 2) , . . _ . 
= o, tengan-—-puntos comunes para que la función F (x, y)—o, 
pertenezca al género cero y á las curvas unicursales. 
(ti - (ti _ 2) 
2.° Toda curva unicursal del grado n, admite --—-puntos dobles, 
y recíprocamente una curva de grado n que admita 
(n — 1) (n — 2) 
2 
puntos dobles, 
es unicursal. 
3.° El género cero, supone el máximo de puntos dobles en la función y como 
quiera que las curvas unicursales pertenecen á dicho género, de ahí se infiere que 
las curvas unicursales admiten el máximo de puntos dobles que pueden corres¬ 
ponder en la función que se considera. 
Pasemos á casos más concretos. 
Cuestión difícil por no decir imposible es en general el poder hallar el valor 
en y de la función anterior F, naciendo de ahí la importancia de las curvas unicur¬ 
sales, pues si la función dada, permite obtener x é y en función racional de un 
solo parámetro, la función y dx, será una función algebraica racional de dicho 
parámetro, condición muy ventajosa para poder integrar. 
En tales condiciones hállanse las ecuaciones que á continuación se expresan: 
Sea en primer lugar 
(1) Ay m -f- Bxy m — 1 . Kx m ~ 1 y Lx m — ay m ~ 1 bxy m ~ 2 -(- • • ■ • + 
hx m ~ 2 y-\- kx ™— 1 , A, B, •■■■ K, L, a, b h, k figuran como constantes. 
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