Para ello consideremos las igualdades siguientes: 
X—\x-\-X' y , Y—^x-^-y/y , 
las cuales nos permiten escribir, según Hermite 
Yd X — Xd Y—^x-^^y) (X dyc ArV dy) — (kxy) {pd x-\-\i! d y) — 
rr= ({jl' X — X' ¡jl) {y dx — xdy) 
Al integrar, se obtiene 
(¡jl' X — X' [a) Jly dx — x d y) — yYd X — X y J 
De suerte que si la integral del segundo miembro puede resolverse en función 
algebraica, habremos logrado que la del primer miembro, ó sea la primitiva, sa¬ 
tisfaga á las mismas condiciones. 
Vamos, pues, á determinar las condiciones á que deben satisfacer X é Y, re¬ 
firiéndonos á la ecuación del folium de tercer orden antes citada, pero represen¬ 
tando de momento a, ¡3, y y, las tres raíces de la ecuación 0 3 -j- 1 ~o. 
Así, pues, al suponer los valores de x , é y, descompuestos en fracciones sim¬ 
ples, se tiene 
A , B , C _ A' B' , C 
x ~ + 0 —§ + 6 —Y ’ ' V ~ 0 —a 6 — p + 0 —Y 
Al sumarlas, se deduce 
B [i 2«. % ] C [r 2a] — j , . ó sea 2a, t B -f- 20íC — 2 
luego Bv? Coi, = i [2] 
Formando sistema entre [1] y [2], cabe escribir 
Bo. Cu. = a, Ba? Ca = 1 , luego B (a — a 2 ) = a — 7, ó sea 
I C/^ 
B= — — =-= — a 2 , < 7=2 — B — 1 -(- a 2 = 7 — (/-j-a) = — a 
a a 3 
A = — {B + C) = — (— a 4 * 6 — a) == a 2 + a = — a 3 = — 7 
Asi pues se tiene por fin 
A B C _ 1 a * 1 a 
6 3 + 7 _ 6 -f r 0-fa + 0 + a 2 _ 0 + 7 0 + a 0 + a 2 
MBMOBIAS.— TOMO VII. 
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