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En suma, se tiene que la integral f y dx que ha tomado las formas siguientes: 
Jydx = -^-yx-j-^-J[ydx-xdy] 
(H'X—X'H) j*(ydx — xdy)—^j(YdX — Xd Y) 
aplicada al caso que consideramos, permite ser expresada en función racional y 
algebraica de 0, como única variable correspondiente á las curvas unicursales. 
Por último llegamos á las aplicaciones de los principios anteriores. Nos con¬ 
cretaremos solo á los foliums de Descartes, referentes á los de tercero y cuarto 
orden, y al considerar las curvas unicursales nos permitirá resolver la cuestión 
sin necesidad de despejar la y, en las ecuaciones respectivas, ni de pasar á coor¬ 
denadas polares, como suelen realizarlo varios autores de cálculo infinitesimal, con 
objeto de salvar las dificultades que presenta el análisis ordinario al pretender re¬ 
solver el problema directamente. 
Empecemos por el folium de tercer orden, dando la ecuación que lo repre¬ 
senta bajo un carácter más general que ñola habíamos considerado anteriormen¬ 
te, esto es 
x 3 -j-y 3 — axy — o 
Al suponer y ~xt, se obtiene 
at at* 
x — ~T+l r ’ y ~~T^W ’ 
d x — a 
l — 2t 3 
(J+f)* 
dt 
Fácilmente se concibe que estos valores deben conducirnos á probar, según 
los principios que anteceden, que la integral f y dx debe resolverse en una función 
algebraica y racional de t; empero los casos particulares que suponemos, permi¬ 
ten prescindir de dichos principios, resolviendo las integrales directamente. 
En efecto 
1 — 21 * 
dt — a* 
r r 2 — 2t i 
dt~ 
r p i ' at 
I J ( lJ r (3 y 
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