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Determinemos cada una de las integrales anteriores 
C t'dt 
1 r 3t*dt 
1 1 
J (1-Yñ * * 3 ~ 
- 3j (1 + t 3 ) 3 * - 
3 2 (i-\-t 3 y 
r t* dt 
r 3 t*dt _ 1 
r 3?dt _ 
J (¿ + ¿3)3 - 
J (l^t 3 f-3^ 
) (i-hñ 3 ~ 
1 r 
r 
' 3Pdt ] _ 1 r 
t 3 1 1 
3 L 
2(i\n 1 j 
2(1-\-t 3 )' J ~ 3 [ 
2(lA-ty 2(l-\-t*)\ 
Sustituyendo estos valores en la integral primitiva, se deduce 
/ 2 / t* 1 
Jy dx = a '[-T 
= a '[~T 
2(1 t 9 y 
i 
Ti+rr 
-r(- 
2(l + t 3 
2(i+ñ 
+ 
6 u-\-t a y 
+ 
-í—í_l 
3 1 + f J 
Al analizar geométricamente la ecuación del foliurn de tercer orden, resulta 
la forma que se asigna en la adjunta figura, refiriéndose solo á la parte de curva 
cerrada. 
Además si de momento tomáramos la ecua¬ 
ción anterior referida á ejes polares, sería 
a sen. 0 eos. 0 
sen. 3 0 -j- eos. 3 0 
y según la teoría de máximos y mínimos, el vec¬ 
tor máximo corresponde á un ángulo de 45°, resul¬ 
tando OC~CA , y como hemos supuesto y — xt, 
se deduce que t~ 1 . 
De modo que para tener el área correspondiente á OBACO , deben tomarse 
como límites para t; cero y uno. 
(*) Al tomar la primera derivada de p, para la determinación del máximo, basta considerar el 
numerador de la expresión correspondiente, averiguando las condiciones que debe reunir para que 
sea cero. 
(sen . 3 9 -j- eos . 3 9) (eos . 3 9 — sen . 3 9) — sen. 9 eos. 9 [3 sen.* 9 eos. 9 — 3 cos. ! 9 sen. 9], 
n 
luego para que esta expresión sea cero, es suficiente que 9 = —— , valor que determina la dirección 
4 
OA, como bisetriz del ángulo recto yox. 
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