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Llámase á la curva definida por las ecuaciones diferenciales 18 extremal de 
la integral definida J'Fds. Si Fe s sólo función de x, y, y z las ecuaciones anterio¬ 
res representan la curva de equilibrio de un hilo sometido á la función de fuerzas 
— F. Luego un hilo en equilibrio es extremal de 
/ Tds 
siendo T la tensión. 
Si los extremos de la curva extremal son dos puntos fijos, las condiciones en 
los límites expresadas en la ecuación 2 1 se cumplen, puesto que X,, X a , y X 3 son nu¬ 
las en los extremos. Si éstos estuvieren sujetos á la condición de estar situados 
en sendas superficies 
- V o> 8 o) = 0 ’ S (V-V Z l ) = 
debieran cumplir las variaciones en ellos las dos siguientes condiciones 
A x,+» 
dx dy dz 
v r> ^ ^ n r 
-A i + P- i +•$- i =» 
F 
las cuales expresan que las variaciones X están en el plano tangente, y como las 
condiciones 21 expresan que ellas son perpendiculares á la curva en sus extremos, 
se viene á deducir en consecuencia que la extremal en este caso es normal á las 
dos superficies estremas en los puntos en que las corta. 
Análoga propiedad se demostraría para el caso de que los extremos estuvie¬ 
ran sobre curvas fijas. 
dx dy 
dz 
as■ ~ds y Ts puede 
Volviendo al caso general en que F depende de x, y, 
ocurrir que se busque la curva que da un valor estacionario á fFds con ciertas 
condiciones, por ejemplo, la de estar situado el hilo en una superficie dada, tener 
una longitud determinada ú otras parecidas. Para resolver el problema se puede 
proceder en este caso del siguiente modo. Sea 
dx 
v {x,y.z, rfs 
dy_ 
ds 
dz 
ds 
) = ° 
la ligadura introducida. Las variaciones X estarán sujetas á la relación 
a cc ¿> cp dy dy dy d y 
dx 1 dy d z 3 1 dx 1 dy d* 
d ~ds~ ^~d 7 
= o 
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