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No pueden ser las cuatro raíces imaginarias porque en este caso \ R sería 
imaginaria. 
Si 
1 
— - sen s 
P 
ó 
1 
- = eos £ 
0 
dos de las raíces de R son iguales, y en este caso, los valores de v¡> y s que en 
general son integrales elípticas en z, se pueden expresar mediante funciones cir¬ 
culares y logarítmicas. A estos casos se refieren las catenarias de Fischer en el 
catálogo de Brill. 
Un caso especial que ha sido estudiado con pormenor es el de la llamada 
catenaria parabólica, en que h = o. En este caso, s y cp se representan también 
mediante funciones circulares y logarítmicas (*). 
Considerando un fragmento cualquiera de catenaria esférica, es de ver que 
las fuerzas únicas que sobre el mismo actúan, son su peso, aplicado en el centro de 
gravedad, la reacción de la superficie cuya línea de acción pasa por el centro de la 
esfera y las dos tensiones en los extremos ó cabos. Como todas las fuerzas citadas 
deben equilibrarse, ha de existir una recta respecto de la cual los momentos de 
todas las fuerzas han de ser nulos, ó dicho de otro modo, ha de haber una recta 
(*) La catenaria esférica parabólica tiene la interesante propiedad de que los polos de los cír¬ 
culos máximos tangentes á la misma forman otra catenaria esférica parabólica. Esta propiedad fué 
descubierta por Gudermann. 
Las ecuaciones de la catenaria esférica asi como sus propiedades y distintos casos particulares 
de la misma para valores particulares de las constantes que intervienen en sus ecuaciones, han sido 
estudiados par Bobillier (Gergonne, 1829), Minding, en los tomos 12 y 33 del Journal für reine und 
angewandte Mathematik, Gudermann, en el Grundriss der analitischen Spharik, 1830, asi como en 
los tomos xi y 33 del Journal für Mathematik; Clebsch en el trabajo ya citado del mismo periódico, 
Biermann en su disertación inaugural de 1865 (Berlín), Schlegel en el Programm des Wilhem’s Gym- 
nasium, Berlín 1884, Apell en el Bulletin de la Société Mathemalique de 1885, Venske en la diserta¬ 
ción inaugural de 1891 (Gottingue). Marcolongo en los Rendiconti di Napoli de 1892, y Greenhill en 
los Proceedings of the London Mathematical Society de 1896. Gudermann fué quien dió las expre¬ 
siones de las integrales mediante las funciones elípticas; del trabajo de Clebsch nos hemos ocupado 
ya; Biermann redujo las notaciones de Gudermann á la forma de Jacobi y Weierstrass; Schlegel, se 
ocupó de la determinación de las constantes dadas las posiciones de los extremos, así como la lon¬ 
gitud de catenaria entre los mismos comprendida; y Greenhill de los casos particulares en que la in¬ 
tegral elíptica de tercera especie que aparece en las fórmulas, se convierte en pseudo elíptica, y de 
las catenarias algébricas. En su excelente tratado de curvas, publicado en Coimbra, 1909, Gomes 
Texeira se ocupa también de la Catenaria esférica. 
En la colección de Brill, Fischer ha construido catenarias esféricas y Dewar ha dibujado una 
9erie de notas estereoscópicas de catenarias esféricas, fundadas en el ya citado y excelente trabajo 
de Greenhill. Estas fotografías han sido publicadas por Underwood, Londres. 
