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plano director. Si la reacción es positiva, el anticentro se halla encima del plano 
director, si es negativa, debajo. En el primer caso, la curva gravita sobre la parte 
convexa de la esfera, en el segundo sobre la cóncava. 
Si los dos extremos de la catenaria esférica están libres, la curva es plana. 
Considérese, en efecto, al primer elemento ds. Sobre él actúan i.° el peso dirigido 
verticalmente, 2 .° la reacción de la superficie que pasa por el centro de la esfera, 
3. 0 la tensión en uno solo de sus extremos, ya que en el otro es cero. Como ésta ha 
de equilibrar á las otras dos, estará en su plano vertical meridiano. En este mismo 
plano estará el elemento siguiente, y así sucesivamente. 
Si la catenaria pasase por el punto más alto de la esfera en que descansa, 
será plana. Imaginemos, en efecto, el elemento ds colocado en el punto más alto. 
Actúan sobre él la gravedad, la reacción y las tensiones extremas. Como las dos 
primeras tienen la misma dirección, las dos tensiones extremas se hallan en un 
plano vertical, y los dos elementos ds próximos al considerado estarán en el mismo 
plano y así sucesivamente. 
Esta propiedad y la anterior resultan como consecuencia de lo dicho en la 
pág. ( 6 ). Las fuerzas exteriores gravedad y reacción normal son tales, que su 
momento respecto de lo vertical que pasa por el centro de la esfera es nulo. Luego 
el momento de la tensión respecto del citado eje es constante. Si para algún punto 
de la curva fuere nulo, lo será para todos, y en este caso la curva es plana. En 
efecto, de 
se deduce, 
x — ky 
que es la ecuación de un plano meridiano vertical. 
De lo dicho se deduce que, á menos que la curva esté en un plano meridiano 
vertical, no será posible trazar por la vertical que pasa por el centro de la esfera 
un plano meridiano tangente á la misma, porque en los puntos de contacto sería 
nulo el momento de la tensión, y en consecuencia, y, contra la hipótesis, la curva 
debiera hallarse en un plano meridiano vertical. 
De esto se deduce que la catenaria si es una circunferencia completa, puede 
estar en un plano horizontal, pero no en uno vertical que no fuese meridiano. 
En los puntos en que la reacción normal es nula, la proyección horizontal de 
la curva presenta un punto de inflexión, ya que si la reacción normal es nula, el 
plano osculador es vertical. 
