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sea tangente un plano que pase por el eje de giro. Por lo tanto, la curva no puede 
ser un círculo menor vertical ni un círculo menor, cuyo plano sea cortado por el 
eje de giro en un punto exterior al citado círculo. Podrá ser un círculo menor 
horizontal cuando las raíces o y x sean iguales. 
La curva sólo podrá ser un círculo horizontal cuando la reacción resultante 
en un fragmento cualquiera esté contenida en el plano de la curva en que se halla 
la resultante de las fuerzas centrífugas y las tensiones extremas. Esto sólo ocuri- 
, , ., h 
rá en los círculos intersección del cilindcro de radio -r^con la esfera, porque en 
ellos la reacción es nula, y cuando el hilo está dispuesto según el ecuador de la 
citada superficie. 
XV — Catenarias dispuestas sobre superficies desarrollabas 
Las ecuaciones intrínsecas del equilibrio de un hilo en una superficie referidas 
á la tangente á la curva, normal á la superficie y una tercera dirección perpendi¬ 
cular al plano de las dos anteriores, á saber: 
(IT 
T 
— eos ¡3 4- A -)- = 0 
P 
fftj — sen ¡3 = o 
siendo ¡3 el ángulo que la normal principal de la curva forma con la normal á la 
superficie, nos conducen á la siguiente propiedad: Si se desarrolla una superficie 
desarrollable sobre un plano y se mantienen invariable £T y , continúa el hilo 
en equilibrio en el plano, variando sólo N. En efecto, al desarrollar la superficie 
sen ¡3 
no altera la curvatura geodésica _ de sus líneas, la cual es la curvatura de 
P 
la sección recta del cilindro, cuya directriz es la curva dada y cuyas generatrices 
son paralelas á la normal á la superficie en el punto considerado, convirtiéndose 
