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Evidentemente r ha de ser mayor que a. 
Si & 2 > a^, para que el segundo miembro de la última fórmula sea positivo es 
necesario que r 2 > ¿> 2 y la geodésica es tangente al paralelo de radio b. La 
ecuación del cilindro que la proyecta sobre un plano normal al eje es 
0 
bdr 
— a 2 ) (r 2 
- 6 *) 
de donde se deduce, invirtiendo la integral 
b 
— = sn 9 
r 
a 
con módulo k — —, La constante de integración se supone determinada de modo 
que 0 = o para r =co Si 2> 2 <a 2 la geodésica corta al círculo de garganta de la 
superficie bajo un ángulo [3 dado por 
a sen [3 = b 
Y la ecuación del cilindro proyectante es 
r e 
— — sn — 
a k 
siendo k= — 
a 
Si b 2 = a % las funciones elípticas que resultan en las integraciones anteriores 
degeneran en hiperbólicas. En este caso, 
eos b 0 
r = a - 
sen b 0 
La solución representa una curva asíntota al círculo r=a. 
Una de las propiedades más importantes del catenoide es su aplicabilidad so¬ 
bre un helicoide alabeado de plano director, propiedad conocida con el nombre de 
teorema de Bour. Para efectuar la aplicación de una superficie sobre otra basta 
