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considerar abierto el catenoide por uno de sus meridianos y limitado en el círculo 
de garganta; si se deforma la superficie de modo que el citado círculo se convierta 
en una recta, el catenoide se convierte en un helicoide alabeado de plano director 
de paso a, y tal que aquella recta es el eje. Los paralelos del catenoide se convier¬ 
ten en hélices. 
La ecuación del helicoide transformado es: 
en la que el eje de la z es la recta transformada del círculo de garganta y z y cp 
son las coordenadas de una generatriz del helicoide. En la deformación que consti¬ 
tuye la aplicabilidad, los elementos lineales conservan su longitud, luego si p 
representa la distancia de un punto al eje en el helicoide, 
r’ 1 d9 2 = p 2 r/cp 2 4- dz 2 = (p s -j- d ! ) d cp 2 
Y como los paralelos se transforman en hélices de paso a, 
(2Kr)' 2 = 4 7t 2 (p 2 + fl 2 ), 
luego 
De las dos relaciones últimas y de la noción de aplicabilidad se deduce que 
las geodésicas del helicoide alabeado de plano director se obtendrán de las del ca¬ 
tenoide poniendo en vez de r 2 , p 2 + a 2 , y en vez de 0, cp en las ecuaciones 
de esta última superficie (*). 
La superficie denominada pseudo-esfera de Beltrani es la de revolución en¬ 
gendrada por la rotación de la curva 
y — R sen cp 
(*) V. Darboux. Leqons sur latheorie des surfaces. Gieenhill. Traité des fonctions elliptiques. 
