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pondiente dentro de L v Supongamos que la posición del centro O, de inversión ha 
sido elegida de tal modo que L' sea el centro de L r En este caso, las geodésicas de 
la pseudo esfera que pasan por P se convertirán en rectas diámetros de la circun¬ 
ferencia L { ya que han de transformarse en circunferencias ortogonales á L { 
que pasen por su centro. Considérese una geodésica G que no pase por P. Des¬ 
pués de las dos transformaciones indicadas, la primera de superficie á plano, la 
segunda por radios rectores recíprocos sin salirse de éste, transformaciones que 
no alteran los ángulos, la geodésica G se habrá convertido en una circunferencia 
G’ ortogonal á L l . Sean A y B los puntos de intersección de G’ y L { , los 
cuales representarán puntos al infinito de G. Pero L! A y L' B representan dos 
geodésicas, luego por el punto P pueden trazarse dos geodésicas que tienen co¬ 
munes los puntos del infinito con la geodésica G. Llámanse las dos citadas geodé¬ 
sicas, paralelas á G. Por lo tanto, en la pseudo esfera, por todo punto pueden tra¬ 
zarse dos geodésicas paralelas á otra dada. Y, como los demás diámetros de L í 
representan geodésicas también, resulta que por un punto pueden trazarse infinitas 
geodésicas que corten á otra dada que no pase por P, así como infinitas que no la 
corten. 
El ángulo a tal que AL’B=2 a. es llamado ángulo de paralelismo. Este án¬ 
gulo depende de la distancia PM de P á la geodésica ó de la distancia de JJ 
á la transformada, ya que PM, por ser mínima distancia de P á G, ha de tener 
por transformada la que á su vez es la mínima distancia de L’ á G’. 
Considerando un triángulo constituido por tres geodésicas (fig. 2), y tomando 
uno de sus vértices por punto P, tal que después de las dos transformaciones viene 
á ser el L' centro de la circunferencia límite, el triángulo transformado será mixti- 
líneo, dos de sus lados serán partes de radios L’A y L’B, siendo el tercero la trans¬ 
formada AB, que es arco de circunferencia. La suma de los ángulos del citado 
triángulo es menor que dos rectos, siendo la diferencia igual á AC’B. Se tiene, 
en efecto, que el ángulo semiinscrito A es igual al inscrito ADC por abrazar 
igual arco, de! mismo modo el semiinscrito B es igual á BCD, por lo tanto, desig¬ 
nando por las letras de sus vértices los ángulos del triángulo L’AB. 
L'-\-A-\-B = L'-\-ADC-\-BCD — L'-\-BDC-\-ACD—BCA — B DA 
= 180° - BCA — BDA = 180 — AC'B 
Estas propiedades de la geometría de la pseudo-esfera conducen á una repre¬ 
sentación de la geometría hiperbólica, análoga á la representación de la elíptica 
por la esfera ordinaria. A las rectas de la geometría euclídea ó á los círculos má¬ 
ximos de la de Riemann corresponden en la de Lobatchefskij y Bolyai las geo- 
