- 80 — 
yor, comprendida entre jjl y b, da lugar á una catenaria cuyas tangentes se cortan 
encima de la base. Si / 2 ( b ) > o, las tangentes correspondientes á la raíz m l de 
fi {iri) = ° se cortan debajo, las correspondientes á la raíz de f t ( m) = o encima 
de la base (*). 
Si en una catenaria se traza en un punto P la tangente, y por el punto en que 
ésta corta á la base se traza otra, siendo P’ el nuevo punto de contacto, los puntos 
P y P’ se llaman conjugados, y son tales, que el área de la superficie engendrada 
por la rotación alrededor de la base del fragmento de catenaria entre ellos com¬ 
prendida, es igual á la suma de las oreas laterales de los conos de revolución en¬ 
gendrados por la rotación de las tangentes alrededor de la base. En efecto, las 
coordenadas ( a b) y (c dj de los puntos P y P’ satisfacen á ó ecuación. 
bm dm 
. H- - = c - a 36 
V b' 2 — nP V d 2 — rrP 
que, como ya hemos hecho observar, expresa que la suma de las subtangentes es 
igual á c-a. Pero la suma de las áreas laterales de los citados conos, vale 
- Tí b~ -j—-Tú a ' 2 -y 
\/fr 2 — nP yjd' 2 — vi 2 
y la de la superficie engendrada por la revolución del fragmento de catenaria, vale 
y V y~ — m 2 + »i x 
— t: V ¿' 2 — m2 d - b \jb 2 — i7i- -j- m (c — ei) 
la cual, en virtud de la ecuación 36 es igual á la suma ( 37 ). 
De esta propiedad de la catenaria conocida con el nombre de teorema de 
Lindelóff dedúcense importantes consecuencias. La catenaria es la curva que pa¬ 
sando por dos puntos dados engendra al girar alrededor de una recta dada la su¬ 
perficie de área mínima, como demostraremos luego (**), mas ya de lo que lie- 
2 * fy ^ = ~ f V 
dx = 
d - 
(*) V. Lindelóff Moigno. Calcnl de Variations, y Lindelóff Mathematiscb.e Annalen, 1870, 
(**) V. la nota II. 
