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vamos dicho se desprende que es necesario que en el fragmento de catenaria ó 
catenarias soluciones del problema de superficie mínima de revolución, no existan 
puntos conjugados. Porque entonces habrá infinitas curvas distintas de la catenaria 
que darán superficies de igual área, entre ellas, las compuestas por dos trozos de 
catenaria que comprendan desde los extremos á un par de puntos conjugados, y 
por las dos tangentes á la catenaria en los puntos conjugados. Si los puntos dados 
fueren conjugados, habría, por lo menos, una. Y como en estas curvas la variación 
de la integral 
j y ds no es nula, puesto que no son extrémales, no cumplen con las 
condiciones de máximo ó mínimo. Por lo tanto, el fragmento de catenaria que 
contiene puntos conjugados no da la solución del problema de superficie mínima. 
Sean dos anillos circulares cuyos planos paralelos son perpendiculares á la 
recta que une sus centros. 
Supongamos que mediante una disolución de jabón se ha formado una mem¬ 
brana entre los dos anillos. 
La forma exterior será la de un trozo de catenoide ó superficie engendrada 
por la rotación de una catenaria alrededor de la base que es en este caso la recta 
eje de simetría que une los centros de los círculos. La superficie formada será 
estable cuando la energía potencial medida por el área del fragmento de catenoide 
sea mínima, según se demuestra en la teoría de la Capilaridad, lo cual, como hemos 
visto, implica que en el trozo de curva meridiana comprendido entre los anillos no 
existan puntos conjugados. 
Si se aumentara la distancia que separa los dos anillos, llegaría un momento 
que la membrana de disolución de jabón se rasgaría, es el momento en que los dos 
extremos de la curva meridiana son puntos conjugados. El catenoide degenera en¬ 
tonces en dos planos, los de los anillos, que corresponden á las soluciones disconti¬ 
nuas del problema (*). 
La circunstancia de que las catenarias dependen de un solo parámetro nos dice 
que todas ellas son curvas semejantes. 
La propiedad de que el parámetro es sólo función de 
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(*) V. Nota II. 
MEMORIAS.—TOMO IX 
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