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Si suponemos que O es el punto medio de dos conjugados A y B la propor¬ 
ción anterior se transforma en 
OD - OB OD + OB 
OB — OC “ OC +OB 
de la cual resulta 
OB 2 = OC. OD 
Como OB' es esencialmente positivo, OC y OD son del mismo signo, luego 
los dos puntos conjugados C y D están ambos á la derecha ó á la izquierda del 
punto O medio de los otros dos. Si uno de los factores del segando miembro es 
mayor que OB, el otro será menor; lo cual comprueba que C y D están separa¬ 
dos por B. Si C se confunde con B, el punto D también se confundirá y habrá en¬ 
tonces tres puntos reunidos B, C y D que formarán sistema harmónico con otro 
punto separado A. Si OC es igual á cero, OD será infinito, por lo tanto dos pun¬ 
tos de una recta están harmónicamente separados por su punto medio y el punto 
con el infinito. 
Cuatro rectas ó cuatro planos de un haz son harmónicas, siempre que la in¬ 
tersección con una transversal cualquiera dá cuatro puntos harmónicos. Según 
esta definición es evidente que la harmonía es una propiedad proyectiva es decir 
subsiste en la proyección y sección. 
Se evidenciará la importancia que en Geometría tienen los sistemas harmó¬ 
nicos con sólo fijar nuestra atención sobre los siguientes enunciados. 
En todo cuadrilátero completo cada diagonal está cortada por las otras dos 
en puntos que están harmónicamente separados por los dos vértices que hay en 
aquella diagonal. Correlativamente en todo cuadrivértice completo, si unimos un 
punto diagonal á las otras dos, resultan rectas que están harmónicamente separa¬ 
dos por los lados concurrentes en aquel punto diagonal. En la geometría proyec¬ 
tiva estos dos teoremas son fundamentales. 
El lugar geométrico de puntos harmónico conjugados de uno dado, respecto 
á una cónica es una recta llamada polar y el punto propuesto polo. Si una recta 
gira alrededor de un punto, su polo describe una recta que es la polar de aquel 
punto. Por la teoría de la polaridad á cada punto corresponde una recta y á 
cada recta un punto; relación fundamental que pone de manifiesto la correlación 
ó dualidad que existe entre los teoremas ó problemas de la forma de segunda 
categoría llamada sistema plano. 
Cuando el polo está situado sobre la curva la polar se transforma en tangen¬ 
te ó en asíntota según el punto de contacto, en que se transforma el polo esté á 
distancia finita ó infinita. 
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