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Si la polar es la recta del infinito el polo es el centro de la cónica. Trazando 
por este una recta quedará dividida harmónicamente por él y su polar luego el 
centro divide por mitad á todas las rectas que por él pasan. 
En el género elipse la recta del infinito es exterior á la cónica luego el cen¬ 
tro está en la región interna. En el género hipérbola aquella recta es secante, 
por lo tanto su polo ó centro se halla en la región externa y se determina por el 
concurso de las dos asíntotas. Por último en el género parábola, la recta del 
infinito es tangente su polo es el punto de contacto, luego el centro de la parábola 
está en el infinito ó lo que es lo mismo no tiene centro. 
Siempre que el polo esté en el infinito la polar se llama diámetro de la cónica. 
Como hay infinidad de puntos en el infinito, que están en línea recta, existirán 
una infinidad de diámetros concurrentes todos en el polo de aquella recta ó centro 
de la cónica. Ya que todos los diámetros se reúnen en el centro y este en la pará¬ 
bola está en el infinito, resulta que en esta curva deben ser paralelos. Si por el 
punto del infinito ó polo, trazamos cuerdas á la cónica tendremos una série de 
paralelas que estarán divididas harmónicamente por la curva, el polo y la polar 
luego el diámetro es también lugar geométrico de los puntos medios de un siste¬ 
ma de cuerdas paralelas. 
Por último cuando el polo es un foco, la polar es la respectiva directriz. 
Podemos pues decir que todas las principales teorías de las cónicas reconocen 
como fundamedtal la de polo y polar, que no es más que una aplicación de las 
propiedades harmónicas. 
IV 
Así mismo los sistemas harmónicos son fundamentales en las teorías corres¬ 
pondientes á las superficies de segundo orden. 
El lugar de puntos harmónico-conjugados de uno dado es un plano que se 
llama polar denominándose el punto propuesto polo. Si un plano gira alrededor 
de un punto, su polo se mueve sobre el plano polar de aquel punto; mientras que 
si el plano pasa por una recta, su polo describe otra recta que la conocemos con 
el nombre de polar de la primera. Por consiguiente en las formas de tercera 
categoría corresponden los puntos, rectos y planos en virtud de la polaridad 
respectivamente á planos, rectas y puntos. 
Si el polo está en la superficie el plano polar se transforma en tangente ó 
asintótico, según que el punto de contacto ó polo dado esté á distancia finita ó 
infinita. 
Cuando el plano polar es del infinito el polo se denomina centro. Si por este 
se trazan rectas en cado una de ellas habrá sistema harmónico formado por los 
dos puntos du intersección en la superficie, el centro y el punto del infinito luego 
el centro tiene también la propiedad de dividir por mitad á todas las rectas que 
por él pasan. 
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