- 17 
Los géneros de las superficies están caracterizados por la posición especial 
que tiene el plano en el infinito. Mientras que en el elipsoide éste es completa¬ 
mente exterior y por lo tanto el centro debe encontrarse en la región interna; 
en los hiperboloides ya sean de una ó de doshojas, el plano en el infinito es secante 
luego el centro se hallará en la región externa y se determinará hallando el vér¬ 
tice ó centro del cono asintótico; y en los paraboloides elíptico ó hiperbólico 
aquel plano es tangente, luego su polo ú sea el centro, será el punto de contacto 
que está en el infinito lo que significa que así como el elipsoide y los hiperboloides 
tienen centro único, los paraboloides carecen de dicho punto notable. 
Si el polo es un punto del infinito el plano polar es diametral. Como todos 
los puntos del infinito están en su plano, sus planos polares han de pasar por el 
polo correspondiente ó centro de la superficie. Trazando por el polo cuerdas, 
tendremos una serie de rectas paralelas que estarán divididas harmónicamente 
por la superficie, el plano diametral y su polo; luego, el plano diametral es 
también lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas pa¬ 
ralelas. Los planos diametrales son concurrentes en un punto lo mismo en 
el elipsoide que en los hiperboloides mientras que en los paraboloides, como 
tienen el centro en el infinito y deben pasar por este punto son paralelas á una 
recta. 
Llamamos diámetro á la polar de una recta del infinito. Lo hallaremos to¬ 
mando en ésta dos puntos y buscando la intersección de sus planos polares; luego, 
el diámetro es también la intersección de dos planos diametrales. Ya que una de 
las rectas polares está en el plano del infinito, la otra deberá pasar por el res¬ 
pectivo polo por consiguiente diámetro es toda recta que pase por el centro. Por 
último puede asimismo considerarse, como lugar geométrico de los centros de 
una série de curvas semejantes producidas por planos de intersección paralelos 
entre sí. Por tener que pasar los diámetros por el centro se deduce que son con¬ 
currentes en el elipsoide é hiperboloides y paralelos en los paraboloides. 
Así como en las curvas de segundo orden, se considera foco á todo punto 
que sea centro de un haz de radios cuyos elementos sean conjugados y perpendi¬ 
culares; de la misma manera, en las superficies se llama recta focal, á todo eje de 
un un haz de planos cuyos elementos sean conjugados y perpendiculares respecto 
á la superficie. La envolvente de todas las rectas focales es una cónica llamada 
focal, considerándose sus puntos como focos de la superficie. Las rectas polares 
á las focales son las directrices constituyendo todas ellas una superficie ci¬ 
lindrica. 
V 
En la Geometría proyectiva sirve así mismo la harmonía como uso de sus 
fundamentos. Pues se dice allí, que dos formas de primera categoría, alineación, 
haz de radios ó haz de planos son proyectivos cuando se relacionan antre sí de 
315 
