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deben desecharse si de su admisión resulta utilidad para la exposición de la 
ciencia. Preguntémonos pues: estos elementos situados en el infinito ¿son 
beneficiosos ó perjudiciales cuando exponemos la geometría? Dan una gene¬ 
ralidad tal á la ciencia de la extensión, que cuestiones en apariencia muy 
diferentes se compenetran con la admisión de dichos elementos. Así, por 
ejemplo, la teoría de las asíntotas puede tratarse como caso particular de la 
de las tangentes. El centro y diámetro de las cónicas pueden considerarse 
respectivamente como polo de la recta del infinito y como polares de puntos 
que en dicha recta estén situados; por lo tanto sus teorías están comprendidas 
en la más general de polo y polar. Por otra parte, la clasificación de las có¬ 
nicas en los tres géneros elipse, hipérbola y parábola se presenta más clara 
y elegante basándose en dichos elementos en el infinito que por ninguna 
otra consideración. A las tres posiciones diferentes que puede presentar una 
cónica respecto á la recta del infinito de su plano, exterior, secante ó tan¬ 
gente, corresponden los géneros elíptico, hiperbólico y parabólico. Asimismo 
los géneros en las superficies de segundo orden, se obtienen facilísimamente 
atendiendo á su posición respecto el plano del infinito: si es exterior, tan¬ 
gente ó secante, resulta respectivamente ‘un elipsoide, un paraboloide ó un 
hiperboloide. 
El descubrimiento más importante que durante el siglo actual ha hecho 
la Ciencia geométrica es, sin duda, la famosa ley de la dualidad cuya pater¬ 
nidad se disputan dos geómetras tan notables como Poncelet y Gergonne. Por 
ella á cada teorema que se demuestre ó á cada problema que resolvamos po¬ 
demos nosotros añadir casi sin trabajo intelectual otro teorema ó problema 
correlativo cambiando las palabras punto y plano, si pertenece á la geome¬ 
tría del espacio, permutando punto y recta si á planimetría se refiere y tro¬ 
cando recta y plano cuando la proposición directa corresponda á una propie¬ 
dad de la radiación. Pues bien, esta facilidad que duplica el número de 
invenciones geométricas, desaparecería si no admitíamos los elementos en 
el infinito. 
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