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Para estudiar de más cerca la naturaleza de este movimiento y los casos 
particulares que el mismo puede ofrecer, preciso nos es recordar algunas 
propiedades geométricas de las superficies regladas y en especial de las 
alabeadas. 
Sabemos que las superficies regladas se subdividen en dos géneros muy 
distintos, que comprenden, uno las superficies desarrollares y otro las su¬ 
perficies alabeadas. 
Designando por ¿p, y, z las coordenadas rectilíneas y por «, i, a, [3, fun¬ 
ciones arbitrarias de un parámetro variable, las ecuaciones de la generatriz 
de una superficie reglada cualquiera serán: 
x — az (x. y ■=. bz q- [3. 
Suponiendo que el parámetro del cual dependen «, b, a, ¡3, varía de un 
modo continuo, la generatriz expresada por las anteriores ecuaciones va 
ocupando en el espacio posiciones sucesivas y describe la superficie reglada. 
Para que esta sea desarrollable es preciso, según demuestra el análisis, que 
se satisfaga á la condición expresada por la ecuación siguiente: 
d«d¡3 — dMa — 0. 
Cuando esta condición no se halla satisfecha, la recta móvil represen¬ 
tada por las ecuaciones anteriores engendra una superficie alabeada. 
En esta última expresión las diferenciales de a 1 b , a, ¡3 lo son con res- 
pecio al parámetro variable. 
Llamando D la más corta distancia entre dos generatrices consecutivas 
que correspondan á los valores 0 y 0 q- A0 del parámetro; é i el ángulo que 
dichas generatrices forman entre sí, se deduce por los procedimientos cono¬ 
cidos la siguiente fórmula: 
lim 
-?- = ±(0*+5*q-l) 
l 
d#d[3 — dMa 
d cP q- d& 2 q- (adb — M«)' 2 
Para las superficies desarrollables, según resulta de la condición ante¬ 
riormente demostrada, el segundo miembro es nulo; más para las superficies 
alabeadas, como el numerador de la fracción no es cero, el segundo miembro 
de esta fórmula tiene un valor finito diferente de cero. Guando el cociente ó 
relación entre dos infinitamente pequeños es una cantidad finita, se sabe 
que estos infinitamente pequeños son del mismo orden; de donde resulta que 
en una superficie alabeada la más corta distancia entre dos generatrices con¬ 
secutivas infinitamente próximas y el ángulo de estas mismas generatrices 
son infinitamente pequeños del mismo orden. 
