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cotg DMP = . _ — . Sustituyendo las nota- 
V OP 2 — OD- 
£ 
ciones precedentes: cotgQ = — ===== . Elevando al cuadrado, 
yá? a — r l 
$ 
cotg 2 ¡3 = —-- . O bien, 
x 2 — r 1 
x' 2 cotg 2 ¡3 — r 2 cotg' 2 ¡3 = z? 
a? 9 cotg®'|3— zf, — r 2 cotg 2 ¡3. Que es igual, dividiendo 
por r 2 , cotg 2 ¡3 
r- r 2 cotg 2 ¡3 
cuya ecuación demuestra que la meridiana es efectivamente una hipérbola 
que tiene por semieje real r y por semieje imaginario ó segundo eje 
T 
rcotg¡3 = ^ ; luego el lugar geométrico recorrido por la recta móvil 
ADM es efectivamente un hiperboloide de revolución de una hoja. El semi¬ 
eje real de este hiperboloide es el radio r del círculo de garganta y el semi¬ 
eje imaginario ó segundo eje es el indicado rcotg¡3, siendo ¡3 el ángulo que 
la generatriz rectilínea forma con el eje de revolución O z. 
En los tratados de Geometría descriptiva se demuestra que esta super¬ 
ficie admite una segunda generatriz rectilínea BDN, que forma con la ver¬ 
tical DV el mismo ángulo que la ADM, constituyendo asi dos sistemas de 
generatrices las diversas posiciones sucesivas de las dos rectas citadas, y 
por cada punto de la superficie, tal como R, pasan dos de estas rectas. 
Resulta de aquí que el plano tangente de la superficie en un punto R se 
hallará determinado por el conjunto de estas dos rectas RA 2 yRB. 2 ; más por 
ser este hiperboloide una superficie alabeada, dicho plano tangente lo es 
sólo en el punto dado R de la generatriz RA. 2 , que pasa por el mismo, siendo 
secante en todos los demás puntos de la recta citada. 
Determinemos ahora las condiciones de polaridad de dos hiperboloides 
de revolución; es decir, las condiciones á que deben satisfacer para que cons¬ 
tituyan dos axoides correspondientes. Para ello nos bastará determinar la 
relación analítica á que dos hiperboloides deben satisfacer para que sean 
tangentes á lo largo de toda una generatriz; y esta relación debe deducirse 
de la condición general de que los parámetros de distribución de los planos 
tangentes deben ser iguales para ambos hiperboloides. 
MEMORIAS.— TOMO II. 61 
