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KO'K' descrito en el plano de la base superior por el extremo K de la gene¬ 
ratriz del cono asintótico ó director del hiperboloide; pues el círculo de la 
base de este cono comprende también para las posiciones correspondientes de 
sus generatrices arcos proporcionales á los radios, es decir, ángulos iguales; 
pues para una revolución completa de los puntos A y A' en sus círculos, el 
punto K describe también su circunferencia; luego los radios correspondien¬ 
tes á los puntos A, A', K describen á-ngulos iguales; lo cual se deduce ade¬ 
más de la propiedad general conocida de que un plano cualquiera, como es 
e! plano de la base, corta al hiperboloide y al cono asintótico según figu¬ 
ras semejantes entre sí. 
Resulta de lo expuesto que los ángulos infinitamente pequeños KO'K'= 
da y KOK' — di, correspondientes al mismo arco KK'se hallan en razón 
inversa de los radios respectivos; es decir, que suponiendo desarrollada la 
faceta cónica elemental KOK', se tendrá: 
KO'da = KO di 
d i 
da 
KO' 
KO 
di — de 
De donde: 
KO' 
KO 
Pero el triángulo KOO' rectángulo en O' y cuyo ángulo KOO' = |3, que 
es el formado por las generatrices del hiperboloide con el eje, nos dá: 
KO' . 
-- = sen p ; luego 
KO 
di — senada. 
Sustituyendo este valor, asi como el de X, en la expresión general del 
parámetro de distribución de los planos tangentes se tendrá: 
X rdacosf 
Y 
= ?*cotg|3. 
di sen ¡3 d a 
Luego, para que dos hiperboloides sean tangentes á lo largo de una 
generatriz, es preciso que se verifique: 
rcotgP = r^otgjS, ; ó bien 
r _ r x 
tang[3 t.angffi 
r __ cotg¡3, __ tang|3 
r, -cotg[3 tangfh 
