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críticos que se suponen rodeados por medio de lazos á fin de evitar que la 
variable pase por ellos, como puntos peligrosos. Así es como tomando la 
función inversa de la integral elíptica, se llega á las funciones doblemente 
periódicas, principio el más fecundo para alcanzar las tres funciones gonio- 
métricas sumatorias, que comprenden para valores particulares del módulo, 
las funciones circulares é hiperbólicas. 
Digno de encomio son los procedimientos seguidos por varios, matemá¬ 
ticos al objeto de alcanzar dichas fórmulas, siendo los más notables los de 
Lagrange, Darboux, Chasles, Poncelet, Liouville, y en particular el de 
Clebsch, fundado en el bello teorema de Abel. 
De esta suerte la función queda condensada en un simple paralelógra- 
mo, constituido por los dos períodos, el cual contiene, según el tecnicismo 
de Cauchy, sus ceros é infinitos que dan lugar á principios muy impor¬ 
tantes. 
De todos modos, para completar la teoría de Cauchy, conforme se halla 
desarrollada en la obra clásica de Briot y Bouquet, falla aún considerar las 
funciones auxiliares, que son de gran importancia, así como también las 
célebres © y H de Jacobí; medios indispensables para alcanzar nuevas rela¬ 
ciones, y por ende llegar á las propiedades de las funciones modulares y á 
la multiplicación y división de períodos. 
He dicho, señores, que había un segundo método que conduce también 
á las célebres funciones elípticas. 
Dicho método se funda en las funciones de Weierstrass, encontrándose 
esta teoría completamente desarrollada en la obra magistral de Halphen, 
así como en los elementos de Tannery y Molk. 
No puedo pasar, sin embargo, en olvido, los elementos de la teoría de 
las funciones elípticas de Luciano Levy, obra publicada recientemente y 
que á pesar de tener carácter práctico, deja descubrir con claridad en la pe¬ 
queña parte teórica que encierra, la importancia que pueden tener las fun¬ 
ciones de Weierstrass. Las funciones 0, que admite Levy le sirven para 
pasar á las funciones a y £, y de éstas á la fórmula definitiva y más impor¬ 
tante que se expresa por la letra p; esta función admite dos períodos y es 
par, con la particularidad de que el cuadrado de su derivada, depende de 
una ecuación de tercer grado en que los coeficientes toman el nombre de in¬ 
variantes. 
El espíritu de este método consiste en el modo de ser de las raíces de 
la precitada ecuación'de tercer grado, pues ellas permiten relacionar la fun¬ 
ción p, con el cuadrado de sn, relación importante que nos pone en comu¬ 
nicación directa con los funciones elípticas. 
