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la epicicloide plana, á cuya clase de curvas pertenece también la cicloide; 
ella corresponde al caso en que el radio del círculo fijo, ó mejor dicho, del 
círculo director, resulta infinito. 
Pues bien, sabido es que la Geometría analítica, auxiliada por el cálcu¬ 
lo diferencial, deduce, mediante un cálculo bastante largo y complicado, que 
ds 
el radio de curvatura de la epicicloide, R = —— tiene por expresión 
da 
R: 
2r+-2a 
2a sen 
r —2a 2 
en la cual, r es el radio del círculo fijo ó director, a el radio del círculo mó¬ 
vil ó generador, y 9 el ángulo de que ha girado el radio del punto genera¬ 
dor, á partir de su dirección inicial que corresponde al origen de la curva. 
Los signos superiores se refieren á la epicicloide exterior y los inferiores á 
la epicicloide interior ó hipocicloide. De esta fórmula se deduce una cons¬ 
trucción geométrica, que luego mencionaremos, para determinar gráfica¬ 
mente el centro de curvatura de la epicicloide. 
Pasando ahora á la resolución del mismo problema por un método ex¬ 
clusivamente cinemático, diremos que así como Roberval inventó el proce¬ 
dimiento bien conocido de tirar tangentes á las líneas curvas considerando 
estas como trayectorias de un punto móvil, el Profesor M. Mannheim lo 
amplió, generalizándolo, de manera que puede aplicarse con ventaja á dis¬ 
tintos é importantes casos de geometría infinitesimal. Como problema in¬ 
verso del de las tangentes podemos citar el que consiste en determinar el 
punto en que una recta móvil según una ley determinada es tangente á su 
envolvente, y suponiendo que dicha recta sea normal á una curva en todas 
sus posiciones sucesivas, la resolución del problema que nos ocupa determi¬ 
na el centro de curvatura de la curva dada, por ser el punto de contacto de 
la recta móvil, en cada una de sus posiciones, con su envolvente, que resul¬ 
ta ser la evoluta de la curva dada; de donde se deduce que el problema de los 
centros de curvatura, mediante los procedimientos cinemáticos de M. Mann¬ 
heim, se resuelve con la misma facilidad que el de las tangentes. 
Aplicando estos principios á la determinación del radio de curvatura de 
la epicicloide, se deduce que el centro de curvatura para un punto de la 
curva se halla dado por la intersección de la normal en este punto con la 
recta que une el centro del círculo director al punto diametralmente 
opuesto al punto describiente sobre el círculo generador. En el caso en que 
se trata de epicicloides prolongadas ó acortadas, el punto que es preciso unir 
al centro del círculo director, es el punto de intersección del radio prolonga- 
do-que lleva el punto generador y de la perpendicular tirada á la normal 
