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y otros que nó; y existe un carácter que distingue a los primeros de los segundos. 
Es bien extraño que, para la Geometría de la regla, sus tratadistas hayan omitido 
la determinación de ese carácter. El ilustre Klein, en sus Conferencias de vacacio¬ 
nes, dadas en la Universidad de Gotíinga, al llamar la atención sobre aquella la¬ 
guna, indicó que las longitudes construíbles con la regla son las expresables ra¬ 
cionalmente por medio de distancias conocidas; pero esta condición, aunque 
necesaria (cuando los datos ocupan una situación cualquiera) es insuficiente; 
pues, por ejemplo, no es construíble (sólo con la regla) la suma de segmentos 
rectilíneos. El análisis de la cuestión, basado en consideraciones proyectivas, que 
son las indicadas en este caso, me ha conducido a descubrir el carácter de que 
se trata, el cual no es otro que el siguiente: para que un problema planimétrico 
pueda resolverse con el trazado exclusivo de líneas rectas, es necesario y basta 
que, en las diversas series de cuatro puntos de la figura propuesta, las razones 
dobles desconocidas puedan expresarse por funciones racionales de las cono¬ 
cidas y de números enteros. Claro es que esta condición se simplifica en casos 
particulares: así, por ejemplo, si en el plano del dibujo existen trazadas dos 
paralelas, todas las rectas de la figura determinarán sobre aquéllas, dos series de 
puntos, unos dados y otros incógnitos; y la posición de estos últimos será de- 
terminable con la regla, solamente en el caso de que (para ambas series) las ra¬ 
zones sencillas de tres puntos (si son desconocidas) se expresen racionalmente 
por medio de las conocidas y de números naturales. A la misma conclusión se 
llega cuando, entre los datos, hay un segmento 'rectilíneo dividido en dos partes 
iguales; porque este caso- se reduce al anterior, en atención a que, entonces, es 
posible trazar una paralela a dicho segmento. Si entre los datos existe un rombo, 
y referimos toda la figura a dos de sius lados contiguos, considerados corno ejes, 
se podrán construir con la regla las coordenadas incógnitas, solamente si son 
expresables con las de los datos por medio de funciones racionales, que también 
lo sean con relación a sus coeficientes. A cada figura especial, propuesta como 
dato auxiliaren el plano del dibujo, corresponde una serie de problemas resolubles 
con rectas, y un carácter peculiar de los mismos. La Geometría de la regla, consi¬ 
derada desde este punto de vista, ofrece, pues, un campo vastísimo; pero su es¬ 
tudio, más curioso que útil (aun dentro mismo de la ciencia abstracta) no merece, 
en verdad, gran detenimiento. 
De mayor interés es reconocer cuáles son los problemas resolubles con el 
compás y la regla, es decir, con las condiciones impuestas desde la antigüedad a 
las construcciones geométricas. Una cualquiera de éstas, por complicada que sea, 
si está hecha con aquellos dos útiles, no se compone de otra cosa que de rectas 
determinadas por .dos puntos, y circunferencias definidas por su centro y su radio. 
Si referimos toda la figura a un sistema de ejes rectangulares, y aplicando los 
métodos y fórmulas de la Geometría analítica, calculamos, sucesivamente, las 
coordenadas cartesianas de los puntos en que se cortan sus diversas líneas, y me¬ 
diante estas coordenadas y los datos las longitudes incógnitas, en todo el curso 
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